在数学中，误差函数（）是一个特殊函数，符号\operatorname{erf}。误差函数在概率论，统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下：
:\operatorname{erf}(x) = \frac{1}{\sqrt\pi}\int_{-x}^x e^{-t^2} \,\mathrm{d}t=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.
分类
互补误差函数，记为 erfc，在误差函数的基础上定义：
:\mbox{erfc}(x) = 1-\mbox{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt\,.
虚误差函数，记为 erfi，定义为：
:\operatorname{erfi}(z) = -i\,\,\operatorname{erf}(i\,z).
複誤差函數，记为w(z)，也在误差函数的基础上定义：
:w(z) = e^{-z^2}{\textrm{erfc}}(-iz).
词源
误差函数来自测度论，后来与测量误差无关的其他领域也用到这一函数，但仍然使用误差函数这一名字。
误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数\Phi的关系为
: \mathrm{erfc}(z) = \frac{z}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2}
\cfrac{a_1}{z^2+
\cfrac{a_2}{1+
\cfrac{a_3}{z^2+
\cfrac{a_4}{1+\dotsb}}}}
\qquad a_1 = 1,\quad a_m = \frac{m-1}{2},\quad m \geq 2.
初等函数近似表达式
*
: \operatorname{erf}(x)\approx 1-\frac{1}{(1+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4)^4} (最大误差： 5·10−4)
其中， a1 = 0.278393, a2 = 0.230389, a3 = 0.000972, a4 = 0.078108
*
: \operatorname{erf}(x)\approx 1-(a_1t+a_2t^2+a_3t^3)e^{-x^2},\quad t=\frac{1}{1+px} (最大误差：2.5·10−5)
其中， p = 0.47047, a1 = 0.3480242, a2 = −0.0958798, a3 = 0.7478556
*
: \operatorname{erf}(x)\approx 1-\frac{1}{(1+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_6x^6)^{16}} (最大误差： 3·10−7)
其中， a1 = 0.0705230784, a2 = 0.0422820123, a3 = 0.0092705272, a4 = 0.0001520143, a5 = 0.0002765672, a6 = 0.0000430638
*
: \operatorname{erf}(x)\approx 1-(a_1t+a_2t^2+\cdots+a_5t^5)e^{-x^2},\quad t=\frac{1}{1+px} (最大误差： 1.5·10−7)
其中， p = 0.3275911, a1 = 0.254829592, a2 = −0.284496736, a3 = 1.421413741, a4 = −1.453152027, a5 = 1.061405429
以上所有近似式适用范围是： x ≥ 0. 对于负的 x, 误差函数是奇函数这一性质得到误差函数的值， erf(x) = −erf(−x).
另有近似式：
: \operatorname{erf}(x)\approx \sgn(x) \sqrt{1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)}
其中，
: a = \frac{8(\pi-3)}{3\pi(4-\pi)} \approx 0.140012.
该近似式在0或无穷的邻域非常准确，x整个定义域上，近似式最大误差小于0.00035，取 a ≈ 0.147 ，最大误差可减小到0.00012。
逆误差函数近似式:
:\operatorname{erf}^{-1}(x)\approx \sgn(x) \sqrt{\sqrt{\left(\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln(1-x^2)}{2}\right)^2 - \frac{\ln(1-x^2)}{a}}
-\left(\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln(1-x^2)}{2}\right)}.
数值近似
下式在整个定义域上，最大误差可低至 1.2\cdot10^{-7}：
:\operatorname{erf}(x)=\begin{cases}
1-\tau & \mathrm{for\;}x\ge 0\\
\tau-1 & \mathrm{for\;}x
其中，
:\begin{array}{rcl}
\tau & = & t\cdot\exp\left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368\cdot t+0.37409196\cdot t^{2}+0.09678418\cdot t^{3}\right.\\
& & \qquad-0.18628806\cdot t^{4}+0.27886807\cdot t^{5}-1.13520398\cdot t^{6}+1.48851587\cdot t^7\\
& & \qquad\left.-0.82215223\cdot t^{8}+0.17087277\cdot t^{9}\right)
\end{array}
:t=\frac{1}{1+0.5\,|x|}
与其他函数的关系
误差函数本质上与标准正态累积分布函数\Phi是等价的，
: \Phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\tfrac{-t^2}{2}\,\mathrm dt = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]=\frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)
可整理为如下形式：
:\begin{align}
\mathrm{erf}(x) &= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\
\mathrm{erfc}(x) &= 2 \Phi \left ( - x \sqrt{2} \right )=2\left(1-\Phi \left ( x \sqrt{2} \right)\right).
\end{align}
\Phi的逆函数为正态分位函数，即函数，
:
\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p).
误差函数为标准正态分布的尾概率的关系为，
:
Q(x) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
误差函数是米塔-列夫勒函数的特例，可以表示为合流超几何函数，
:\mathrm{erf}(x)=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\tfrac12,\tfrac32,-x^2\right).
误差函数用正则Γ函数P和 不完全Γ函数表示为
:\operatorname{erf}(x)=\operatorname{sgn}(x) P\left(\tfrac12, x^2\right)={\operatorname{sgn}(x) \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\tfrac12, x^2\right).
\scriptstyle\operatorname{sgn}(x) \ 为 符号函数.
广义误差函数
广义误差函数为：
:E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.
其中，E0(x)为通过原点的直线， \scriptstyle E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}。E2(x) 即为误差函数 erf(x)。
x > 0时，广义误差函数可以用Γ函数和 不完全Γ函数表示，
:E_n(x) = \frac{\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0.\
因此，误差函数可以用不完全Γ函数表示为：
:\operatorname{erf}(x) = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}.\
互补误差函数的迭代积分
互补误差函数的迭代积分定义为：
:
\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) = \int_z^\infty \mathrm i^{n-1} \operatorname{erfc}\, (\zeta)\;\mathrm d \zeta.\,
可以展开成幂级数：
:
\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z)
=
\sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j! \Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,,
满足如下对称性质：
:
\mathrm i^{2m} \operatorname{erfc} (-z)
= - \mathrm i^{2m} \operatorname{erfc}\, (z)
- \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)! (m-q)!}
和
:
\mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc} (-z)
= \mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc}\, (z)
- \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,.
函数表
:
:
注释
参见
*古德温 - 斯塔顿积分
参考文献
外部链接
- [http://mathworld.wolfram.com/Erf.html MathWorld – Erf]
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