勒奇超越函数

勒奇超越函数是一种特殊函数，推广了赫尔维茨ζ函数和多重对数函数，定义如下

L(z,s,a)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{(a+n)^s}

特例
;赫尔维茨ζ函数: 当勒奇函数中的z=1时，化为赫尔维茨ζ函数
L(1,s,a)=\zeta(s,a)
;多重对数函数: 当勒奇函数中a=1,则化为多重对数函数
:L(z,s,1)=Li_{s}(z)

;勒让德χ函数: 可以用勒奇超越函数表示,
:\,\chi_n(z)=2^{-n}z \Phi (z^2,n,1/2).
作为赫尔维茨ζ函数的特例，黎曼ζ函数可以表示为
:\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1).
狄利克雷η函数可以表示为
:\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1).

积分形式
L(z,s,a)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{z^x}{(a+x)^s}dx

级数展开
:\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z}
\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n
\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (q+k)^{-s}.

参考文献

• .
• . (See § 1.11, "The function Ψ(z,s,v)", p. 27)
• . (see Chapter 9.55)
• . (Includes various basic identities in the introduction.)
• .
• .
• {{citation | first= Mathias | last= Lerch | authorlink= Mathias Lerch | title= Note sur la fonction \scriptstyle{\mathfrak K}(w,x,s) = \sum_{k=0}^\infty {e^{2k\pi ix} \over (w+k)^s} | language= fr | year= 1887 | journal= Acta Mathematica | volume= 11 | issue= 1–4 | pages= 19–24 | doi= 10.1007/BF02612318 | mr= 1554747 | jfm= 19.0438.01}}.