小q拉盖尔多项式

小q拉盖尔多项式是一个以基本超几何函数定义的正交多项式

:\displaystyle p_n(x;a|q) = {}_2\phi_1(q^{-n},0;aq;q,qx) = \frac{1}{(a^{-1}q^{-n};q)_n}{}_2\phi_0(q^{-n},x^{-1};;q,x/a)

极限关系
;大q拉盖尔多项式→小q拉盖尔多项式
在大q拉盖尔多项式中，令x \to bqx,并令b \to \infty即得小q拉盖尔多项式

\lim_{b \to \infty}P_{n}(bqx;a,b;q)=p_{n}(x;a|q)

仿射Q克拉夫楚克多项式→ 小q拉盖尔多项式：

\lim_{a \to 1}=K_{n}^{aff}(q^{x-N};p,N|q)=p_{n}(q^x;p,q)
令小q拉盖尔多项式 a=q^a x=(1-q)*x,然后令q→1
即得拉盖尔多项式

\lim_{q \to 1}P_{a}(1-q)x;q^a|q)=\frac{L_{n}^{(a)}(x)}{L_{n}^{(a)}(0)}

;验证 9阶小q拉盖尔多项式→拉盖尔多项式

作上述代换，

P_{a}(1-q)x;q^a|q) =1+{\frac {qx}{1-{q}^{\alpha}q}}-{\frac {x}{{q}^{8} \left( 1-{q}^{\alpha}q \right) }}

• \left( 1-{q}^{-9} \right) \left( 1-{q}^{-8}

\right) {q}^{2} \left( 1-q \right) {x}^{2} \left( 1-{q}^{2} \right) ^
{-1} \left( 1-{q}^{\alpha}q \right) ^{-1} \left( 1-{q}^{\alpha}{q}^{2}
\right) ^{-1}

• \left( 1-{q}^{-9} \right) \left( 1-{q}^{-8} \right)

\left( 1-{q}^{-7} \right) {q}^{3} \left( 1-q \right) ^{2}{x}^{3}
\left( 1-{q}^{2} \right) ^{-1}
\left( 1-{q}^{3} \right) ^{-1} \left(
1-{q}^{\alpha}q \right) ^{-1} \left( 1-{q}^{\alpha}{q}^{2} \right) ^{-
1} \left( 1-{q}^{\alpha}{q}^{3} \right) ^{-1}+\cdots

求q→1极限得

令a=3,得
(1-{\frac {9}{4}}x+{\frac {9}{5}}{x}^{2}-{\frac {7}{10}}{x}^{3}+{
\frac {3}{20}}{x}^{4}-{\frac {3}{160}}{x}^{5}+{\frac {1}{720}}{x}^{6}-
{\frac {1}{16800}}{x}^{7}+{\frac {1}{739200}}{x}^{8}-{\frac {1}{
79833600}}{x}^{9})

另一方面

\frac{L_{n}^{(3)}(x)}{L_{n}^{(3)}(0)}
=(1-{\frac {9}{4}}x+{\frac {9}{5}}{x}^{2}-{\frac {7}{10}}{x}^{3}+{
\frac {3}{20}}{x}^{4}-{\frac {3}{160}}{x}^{5}+{\frac {1}{720}}{x}^{6}-
{\frac {1}{16800}}{x}^{7}+{\frac {1}{739200}}{x}^{8}-{\frac {1}{
79833600}}{x}^{9})

二者显然相等 QED

图集
参考文献
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