阿斯基-威尔逊多项式

阿斯基-威尔逊多项式（Askey–Wilson polynomials）是一个以基本超几何函数表示的正交多项式:

\frac{a^{n}p_{n}(x;a,b,c,d,|q)}{(ab,ac,ad;q)_{n}}=_4\phi_{3}(q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta};ab,ac,ad;q,q)

其中x=cos(\theta)
阿斯基-威尔逊多项式是威尔逊多项式的q模拟.

极限关系
;阿斯基-威尔逊多项式→连续双q哈恩多项式
在阿斯基-威尔逊多项式中，令d=0即得连续双哈恩多项式
p_{n}(x;a,b,c,0|q)=p_{n}(x;a,b,c|q)

;阿斯基-威尔逊多项式→连续q哈恩多项式
在阿斯基-威尔逊多项式中作代换\theta \to \theta+\phi,a \to ae^{i\theta},b \to be^{i\theta},c \to ce^{-i\theta},d \to de^{-i\theta}即得连续q哈恩多项式：
p_{n}(cos(\theta+\phi);ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{-i\theta}|q)=p_{n}(cos(\theta+\phi),a,b,c,d;q)

;阿斯基-威尔逊多项式→大q雅可比多项式

参考文献
Roelof KoekoeK,Peter Lesky Rene Swarttouw,Hypergeometric Orthogonal Polynomials and Their q-Analogues, Springer 2010*
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