在数学中，雅可比多项式 （，有时也被称为超几何多项式）是一类正交多项式。它的名称来自十九世纪普魯士数学家卡爾·雅可比。
定义
雅可比多项式是从超几何函数中获得的，这个多项式列实际上是有限的：
:P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,
其中的(\alpha+1)_n是阶乘幂符号（这里是指上升阶乘幂），（Abramowitz & Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm p561] ）因此实际上的表达式是：
:
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m ,
当z等于1的时候，上式中的无穷级数只有第一项非零，这时得到：
:P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n} .
这里对于每一个整数n\,
:
{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)},
而 \Gamma(z)\,是通常定义的伽马函数，其中约定，当整数n为小于零的时候：
:
{z\choose n} = 0
这个多项式列满足正交性条件：
:
\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta}
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}
其中\alpha>-1而且\beta>-1。
这个多项式列还满足对称性的关系：
:P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);
因此在z等于-1的时候也可以直接算出多项式值：
:P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .
对于实数 x，雅可比多项式也可以写成另一种形式：
:P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s
{n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}
其中 s \ge 0 \, 并且 n-s \ge 0 \, 。
有一个特殊的情形，是当以下四个量：
n、n+\alpha、n+\beta 以及
n+\alpha +\beta 都是非负的实数的时候，雅可比多项式可以写成如下形式：
:P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s
\left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1}
\left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}.
其中s\,的求和是对所有使得求和项为非负实数的整数s\,求和。
在这种情形下，以上表达式使得维纳d-矩阵d^j_{m' m}(\phi)\;（0\le \phi\le 4\pi）可以写成用雅可比多项式表达的形式：
:
d^j_{m'm}(\phi) =\left[
\frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2}
\left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'}
\left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'}
P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi).
导数
身为多项式的一种，雅可比多项式也是无限连续可微（可导）的函数。雅可比多项式的第k次导函数为：
:
\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .
微分方程
雅可比多项式P_n^{(\alpha,\beta)}是以下的二阶齐次线性常微分方程的解：
:
(1-x^2)y* + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0.\,
参见
*比贝尔巴赫猜想
*勒让德多项式
*切比雪夫多项式
*盖根鲍尔多项式
*雅可比过程
注释
参考来源
- Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "[http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm Chapter 22] ", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 773, ISBN 978-0486612720, MR0167642, http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm .
*
Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "[http://dlmf.nist.gov/18 Orthogonal Polynomials] ", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions*, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
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