在数学中，埃尔米特多项式（Hermite polynomials）是一种经典的正交多项式族，得名于法国数学家夏尔·埃尔米特。概率论裡的埃奇沃斯级数的表达式中就要用到埃尔米特多项式。在组合数学中，埃尔米特多项式是阿佩尔方程的解。物理学中，埃尔米特多项式给出了量子谐振子的本征态。
定义
埃尔米特多项式有两种常见定义。
第一种是概率论中较为常用的形式（记作：H_n^\mathrm{prob}(x)）：
:H_n^\mathrm{prob}(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!
另一种是物理学中较为常用的形式（记作：H_n^\mathrm{phys}(x)）：
:H_n^\mathrm{phys}(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!
物理学舍弃了常系数0.5，两定义之间的关系是：
:H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x).\,\!
概率论中常用第一种定义，因为\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}是标准正态分布函数（数学期望等于0，标准差等于1）的概率密度函数。
性质
多项式Hn 是一个n次的多项式。概率论的埃尔米特多项式是首一多项式（最高次项系数等于1），而物理学的埃尔米特多项式的最高次项系数等于2n。
正交性
多项式Hn 的次数与序号n 相同，所以不同的埃尔米特多项式的次数不一样。对于给定的权函数 w，埃尔米特多项式的序列将会是正交序列。
:w(x) = \mathrm{e}^{-x^2/2}\,\! （概率论）
:w(x) = \mathrm{e}^{-x^2}\,\! （物理学）
也就是说，当m ≠ n 时：
:\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, w(x) \, \mathrm{d}x = 0
除此之外，还有：
:\int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{prob}(x) H_n^\mathrm{prob}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2/2} \, \mathrm{d}x = n! \, \sqrt{2 \pi}\delta_{mn} （概率论）
:\int_{-\infty}^\infty H_m^\mathrm{phys}(x) H_n^\mathrm{phys}(x)\, \mathrm{e}^{-x^2}\, \mathrm{d}x = n! \, 2^n \sqrt{\pi}\delta_{mn} （物理学）
其中\delta_{mn}是克罗内克函数。
从上式可以看到，概率论中的埃尔米特多项式与标准正态分布正交。
完备性
在所有满足
:\int_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\, w(x) \, \mathrm{d}x
的函数所构成的完备空间中，埃尔米特多项式序列构成一组基。其中的内积定义如下：
:\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}\, w(x) \, \mathrm{d}x
埃尔米特微分方程
概率论中的埃尔米特多项式是以下微分方程的解:
:(e^{-x^2/2}u')' + \lambda e^{-x^2/2}u = 0
方程的边界条件为：u应在无穷远处有界。
其中\lambda是这个方程的本征值，是一个常数。要满足上述边界条件，应取\lambda∈\mathbb{N}。对于一个特定的本征值\lambda，对应着一个特定的本征函数解，即H_\lambda^{prob}(x)。
而物理学中的埃尔米特多项式则是以下微分方程的解:
:u* - 2xu'+2\lambda u=0
其本征值同样为\lambda∈\mathbb{N}，对应的本征函数解为H_\lambda^{phys}(x)。
以上两个微分方程都称为埃尔米特方程。
參考文獻
- Arfken, Mathematical Methods for Physicists
- B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 11 deals with Hermite polynomials.
- Bayin, S.S. (2006) Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 4.
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Temme, Nico, Special Functions: An Introduction to the Classical Functions of Mathematical Physics*, Wiley, New York, 1996
外部链接
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