Horn函数

Horn函数（以德国数学家命名）是34个不同但都收敛的二阶（双变量）的超几何级数，由Horn在1931年逐一给出（由Ludwig Borngässer于1933年修正）。34个超几何级数被进一步分为14个完全的和20个合流的级数，此处“合流”的含义与它在单变量的合流超几何函数中的含义相同：级数对于任何有限变量都收敛；而“完全”的级数仅对于于单位圆盘内的部分变量收敛。前四个完全的Horn函数即是对应的阿佩尔超几何函数。全部14个完全的Horn函数，以及它们单位圆盘内的收敛半径如下：
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F_1(\alpha;\beta,\beta';\gamma;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_m(\beta')_n}{(\gamma)_{m+n}}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z|
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F_2(\alpha;\beta,\beta';\gamma,\gamma';z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_m(\beta')_n}{(\gamma)_m(\gamma')_n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z|+|w|
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F_3(\alpha,\alpha';\beta,\beta';\gamma;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_m(\alpha')_n(\beta)_m(\beta')_n}{(\gamma)_{m+n}}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z|
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F_4(\alpha;\beta;\gamma,\gamma';z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m+n}}{(\gamma)_m(\gamma')_n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;\sqrt+\sqrt
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G_1(\alpha;\beta,\beta';z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha)_{m+n}(\beta)_{n-m}(\beta')_{m-n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z|+|w|
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G_2(\alpha,\alpha';\beta,\beta';z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha)_m(\alpha')_n(\beta)_{n-m}(\beta')_{m-n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z|
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G_3(\alpha,\alpha';z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha)_{2n-m}(\alpha')_{2m-n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;27|z|^2|w|^2+18|z||w|\pm4(|z|-|w|)
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H_1(\alpha;\beta;\gamma;\delta;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m-n}(\beta)_{m+n}(\gamma)_n}{(\delta)_m}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;4|z||w|+2|w|-|w|^2
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H_2(\alpha;\beta;\gamma;\delta;\epsilon;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m-n}(\beta)_m(\gamma)_n(\delta)_n}{(\delta)_m}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;1/|w|-|z|
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H_3(\alpha;\beta;\gamma;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m+n}(\beta)_n}{(\gamma)_{m+n}}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z|+|w|^2-|w|
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H_4(\alpha;\beta;\gamma;\delta;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m+n}(\beta)_n}{(\gamma)_m(\delta)_n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;4|z|+2|w|-|w|^2
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H_5(\alpha;\beta;\gamma;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m+n}(\beta)_{n-m}}{(\gamma)_n}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;16|z|^2-36|z||w|\pm(8|z|-|w|+27|z||w|^2)
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H_6(\alpha;\beta;\gamma;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}(\alpha)_{2m-n}(\beta)_{n-m}(\gamma)_n\frac{z^mw^n}{m!n!}/;|z||w|^2+|w|
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H_7(\alpha;\beta;\gamma;\delta;z,w)\equiv\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m-n}(\beta)_n(\gamma)_n}{(\delta)_m}\frac{z^mw^n}{m!n!}/;4|z|+2/|s|-1/|s|^2
全部20个合流级数如下：

• \Phi_{1}\left(\alpha;\beta;\gamma;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m+n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Phi_{2}\left(\beta,\beta';\gamma;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\beta)_{m}(\beta')_{n}}{(\gamma)_{m+n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Phi_{3}\left(\beta;\gamma;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m+n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Psi_{1}\left(\alpha;\beta;\gamma,\gamma';x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m+n}(\beta)_{m}}{(\gamma)_{m}(\gamma')_{n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Psi_{2}\left(\alpha;\gamma,\gamma';x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m+n}}{(\gamma)_{m}(\gamma')_{n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Xi_{1}\left(\alpha,\alpha';\beta;\gamma;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m}(\alpha')_{n}(\beta)_m}{(\gamma)_{m+n}(\gamma')_{n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Xi_{2}\left(\alpha;\beta;\gamma;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m}(\alpha)_{m}}{(\gamma)_{m+n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Gamma_{1}\left(\alpha;\beta,\beta';x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha)_m (\beta)_{n-m}(\beta')_{m-n}\frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• \Gamma_{2}\left(\beta,\beta';x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}(\beta)_{n-m}(\beta')_{m-n}\frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{1}\left(\alpha;\beta;\delta ;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m-n}(\beta)_{m+n}}{(\delta)_m} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{2}\left(\alpha;\beta;\gamma;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m-n}(\beta)_{m}(\gamma)_n}{(\delta)_m} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{3}\left(\alpha;\beta;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m-n}(\beta)_{m}}{(\delta)_{m}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{4}\left(\alpha;\gamma;\delta ;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m-n}(\gamma)_{n}}{(\delta)_n} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{5}\left(\alpha;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{m-n}}{(\delta)_m} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{6}\left(\alpha;\gamma;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m+n}}{(\gamma)_{m+n}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{7}\left(\alpha;\gamma;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m+n}}{(\gamma)_m(\delta)_n} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{8}\left(\alpha;\beta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} (\alpha)_{2m-n}(\beta)_{n-m} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{9}\left(\alpha;\beta;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{2m-n}(\beta)_{n}}{(\delta)_m} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{10}\left(\alpha;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{2m-n}}{(\delta)_{m}} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}
• H_{11}\left(\alpha;\beta;\gamma;\delta;x, y\right)\equiv\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\alpha)_{m-n}(\beta)_n(\gamma)_n}{(\delta)_m} \frac{x^{m} y^{n}}{m ! n !}

注意部分完全级数和合流级数的记号相同。全部Horn函数都是Kampé de Fériet函数的特例。