超几何函数

在数学中，高斯超几何函数或普通超几何函数2F1(a,b;c;z)是一个用超几何级数定义的函数，很多特殊函数都是它的特例或极限。所有具有三个的二阶线性常微分方程的解都可以用超几何函数表示。

超几何级数
当c为正整数时，对于|z| \,_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty {a^{(n)} b^{(n)} \over c^{(n)}} \, {z^n \over n!}

其中 \ x^{(n)} 是遞進階乘，定义为:
:q^{(n)} = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & \mbox{if } n = 0 \\
q(q+1) \cdots (q+n-1) & \mbox{if } n > 0
\end{array}
\right.

当a或b是0或负整数时级数只有有限项，另有避免这种情况出现的正则超几何函数。

对于满足|z| ≥ 1 的复数z，超几何函数可以通过将上述在单位圆内定义的函数沿着避开支点0和1的任意路径做解析延拓来得到。具体的公式可以表示为
:
\begin{aligned}
&_{2} F_{1}(a, b ; c ; z)=\frac{\Gamma(b-a) \Gamma(c)(-z)^{-a}}{\Gamma(b) \Gamma(c-a)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(a)_{k}(a-c+1)_{k} z^{-k}}{k !(a-b+1)_{k}}+\frac{\Gamma(a-b) \Gamma(c)(-z)^{-b}}{\Gamma(a) \Gamma(c-b)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(b)_{k}(b-c+1)_{k} z^{-k}}{k !(-a+b+1)_{k}}/;\\
&|z| \geq 1 \wedge a-b \notin \mathbb{Z}
\end{aligned}

特殊情形
很多普通的数学函数可以用超几何函数或它的极限表示出来，一些典型的例子如下：

:\ln(1+z)= z\,_2F_1(1,1;2;-z).
:
(1-z)^{-a} = \,_2F_1(a,1;1;z)

:
\arcsin z = z \,_2F_1\left(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2}; \tfrac{3}{2};z^2\right)

合流超几何函数（Kummer函数）可以用超几何函数的极限表示如下
:M(a,c,z) = \lim_{b\rightarrow\infty}{}_2F_1(a,b;c;b^{-1}z)
因此，所有合流超几何函数的特例，例如贝塞尔函数都可以表示成超几何函数的极限。

勒让德函数是有3个正则奇点的二阶线性常微分方程的解，可以用以不同的形式用超几何函数表示，例如

{}_2F_1(a,1-a;c;z) = \Gamma(c)z^{\tfrac{1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac{c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)

很多多项式，例如贾可比多项式 P及其特殊情形勒让德多项式、车比雪夫多项式、Gegenbauer多项式都能用超几何函数表示

{}_2F_1(-n,\alpha+1+\beta+n;\alpha+1;x) = \frac{n!}{(\alpha+1)_n}P^{(\alpha,\beta)}_n(1-2x)
其它特殊情形还包括Krawtchouk多项式、Meixner多项式、Meixner–Pollaczek多项式。

有时能表示成参数a, b, c是1, 1/2, 1/3, ... 或 0 的超几何函数之比的反函数。例如，若
: \tau = {\rm{i}}\frac{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;1-z)}{{}_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;z)}
则
: z = \kappa^2(\tau) = \frac{\theta_2(\tau)^4}{\theta_3(\tau)^4}
是τ的椭圆模函数.

不完全 Beta 函数 Bx(p,q) 表示成
: B_x(p,q) = \frac{x^p}{p}{}_2F_1(p,1-q;p+1;x)

完整的椭圆积分 K 和 E 如下给出
:K(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)

:E(k) = \tfrac{\pi}{2}\, _2F_1\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};1;k^2\right)

超几何方程
超几何函数满足的微分方程称为超几何方程，其形式为（参见广义超几何函数)
::z\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + a\right)\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + b\right)w = z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z}\left(z\frac{{\rm{d}}}{{\rm{d}}z} + c-1\right)w,\quad w(z)={}_2F_1(a,b;c;z).

展开后，得
:z(1-z)\frac {\mathrm d^2w}{\mathrm dz^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\mathrm dw}{\mathrm dz} - abw = 0.

它有三个正则奇点：0, 1, ∞.

正则奇点 0 附近的解
超几何方程的为
:\rho(\rho-1)+c\rho=0

它的两个指标 是 0 和 1-。

当 不是整数时，超几何方程在 0 附近的两个线性无关的正则特解为：
: \, _2F_1(a,b;c;z) \text{ and } z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z)

当 为 1 时，方程只有一个正则解。当 为其余整数时，另一个线性无关的正则特解涉及对数项。

事实上，当 为整数时，另一个线性无关的特解总可以选取为 Meijer -函数：
: \, _2F_1(a,b;c;z) \text{ and } \, G^{2,0}_{2,2}(1-a,1-b;0,c-1;z), \text{ if } c\in\mathbb Z^+
: \, z^{1-c} \, _2F_1(1+a-c,1+b-c;2-c;z) \text{ and } \, G^{2,0}_{2,2}(1-a,1-b;0,1-c;z), \text{ if } c\in\mathbb Z_0^-

正则奇点 1 附近的解
只需作代换 =1-，方程变为：
:t(1-t)\frac {d^2w}{dt^2} + \left[1+a+b-c-(a+b+1)t\right] \frac {dw}{dt} - abw = 0.

当 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：
: \, _2F_1(a,b;1+a+b-c;1-z) \text{ and } (1-z)^{c-a-b} \, _2F_1(c-b,c-a;1-a-b+c;1-z)

正则奇点 ∞ 附近的解
当 不是整数时，两个线性无关的正则特解为：
: z^{-a}\, _2F_1 \left (a,1+a-c;1+a-b; z^{-1} \right) \text{ and } z^{-b}\, _2F_1 \left (b,1+b-c;1+b-a; z^{-1} \right ).

李代数参数与连接关系
在讨论超几何方程的解的连接关系的时候，采用另外一套参数会更加方便。这组参数是根据方程在三个正则奇点处的指标之差来定义的。

:F_{\alpha,\beta,\mu}(z)={}_2F_1(a,b;c;z)
:\alpha=c-1,\beta=a+b-c,\mu=b-a
:a=\frac{1+\alpha+\beta-\mu}2,b=\frac{1+\alpha+\beta+\mu}2,c=1+\alpha

参数 称为李代数参数。

运用李代数参数，超几何方程在三个正则奇点处的正则解可以分别表示为：
:\text{At }0: F_{\alpha,\beta,\mu}(z) \text{ and } z^{-\alpha}F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)
:\text{At }1: F_{\beta,\alpha,\mu}(1-z) \text{ and } (1-z)^{-\beta}F_{-\beta,\alpha,-\mu}(1-z)
:\text{At }\infty: (-z)^{\frac{-1-\alpha-\beta+\mu}2}F_{-\mu,\beta,-\alpha}(z^{-1}) \text{ and } (-z)^{\frac{-1-\alpha-\beta-\mu}2}F_{\mu,\beta,\alpha}(z^{-1})

从上面的表达式可见，李代数参数比起通常用的参数 的优势在于能够体现不同区域的解之间的对称性。

引入记号：
:G(m;n,p)=\frac{\pi}{\sin m\pi\Gamma(n)\Gamma(p)}=G(m;p,n)
:\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=\frac 1{\Gamma(1+\alpha)}F_{\alpha,\beta,\mu}(z)

则超几何方程在不同区域的解的连接关系可以表示为：
:\mathbf F_{\beta,\alpha,\mu}(1-z)=
G(-\alpha;a-\alpha,b-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;a,b)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z),
:\begin{array}{rcl}(1-z)^{-\beta}\mathbf F_{-\beta,\alpha,-\mu}(1-z)&=&
G(-\alpha;1-a,1-b)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;b-\beta,a-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)\\
&=&G(-\alpha;1-a,1-b)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;1-(a-\alpha),1-(b-\alpha))z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z);
\end{array}

:(-z)^{-a}\mathbf F_{-\mu,\beta,-\alpha}(z^{-1})=
G(-\alpha;1-b,a-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;a,a-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z),
:\begin{array}{rcl}(-z)^{-b}\mathbf F_{\mu,\beta,\alpha}(z^{-1})&=&
G(-\alpha;1-a,b-\alpha)\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)+G(\alpha;b,b-\beta)z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z)\\
&=&G(-\alpha;1-a,1-(a-\beta))\mathbf F_{\alpha,\beta,\mu}(z)
+G(\alpha;b,1-(a-\alpha))z^{-\alpha}\mathbf F_{-\alpha,\beta,-\mu}(z).\end{array}

分别对比两组式子最后一个等号之后的部分，可以看出每组的两个式子之间的对称性。

完整的连接关系表称为 Kummer 表，上面四式是 Kummer 表的一部分。

积分表示
:\Beta(a,c-a){}_2F_1(a,b;c;z)=\int_1^\infty t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b}\mathrm dt, \Re(c)>\Re(a)>0, |\arg(1-z)|
式中的 Β 是beta函数。

证明
可以证明等号右边的表达式是超几何方程的解。再考虑这个解在 =0 附近的性质，可以确定它的具体形式。

设
:p(a,b,c;t,z)=t^{b-c}(t-1)^{c-a-1}(t-z)^{-b-2},\quad w(a,b,c;t,z)=(t-z)^2p(a,b,c;t,z);

则
:\frac{\partial w}{\partial z}=b(t-z)p(a,b,c;t,z),\quad \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}=b(b+1)p(a,b,c;t,z)
:\begin{array}{cl}
&z(1-z)\frac {\partial^2w}{\partial z^2} + \left[c-(a+b+1)z \right] \frac {\partial w}{\partial z} - abw\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{z(1-z)(b+1)+c-(a+b+1)z-a(t-z)^2\right\}\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{-at^2+[c-(b-a+1)z]t+(b-c+1)z\right\}\\
=&bp(a,b,c;t,z)\left\{(b-c+1)(t-1)(t-z)+(c-a)t(t-z)+(-b-1)t(t-1)\right\}\\
=&b\frac{\partial}{\partial t}[t(t-1)(t-z)p(a,b,c;t,z)],
\end{array}

上式中的第二、三个等号可以通过直接展开大括号内的多项式乘积得到。上式两边分别对 从 1 到无穷大进行积分，等号右边为 0，于是我们证明了上面的积分表达式的确是超几何方程的解。

另一方面，利用二项式定理，积分表达式等号右边的部分可以按 展开成幂级数，故可知等号右边应取 21 的形式（因为另一个线性无关的特解无法展开成幂级数），其中 为待定的常数。

对比积分表达式在 =0 处的值与 Β 函数的定义，即可确定常数 。

变换公式
分式线性变换
Pfaff 变换
Pfaff 变换将正则奇点 1 和 ∞ 交换（也就是将李代数参数中的 与 对换）：
:{}_2F_1(a,b;c;z) =(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \tfrac{z}{z-1}),\quad |\arg(1-z)|

由 的对称性自然有：
:{}_2F_1(a,b;c;z) =(1-z)^{-a} \, {}_2F_1(a,c-b;c; \tfrac{z}{z-1}),\quad |\arg(1-z)|

证明
Pfaff 变换可以根据超几何方程得到。事实上，令
:u=\tfrac z{z-1}=1+\tfrac1{z-1}

则
:z=\tfrac u{u-1},\quad (1-z)^a=(1-u)^{-a},\quad \tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=-(1-u)^2
,\quad \tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-(1-u)^3

:\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-b}w]

• \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-b}w] - ab(1-z)^{-b}w\\

=&(1-z)^{-b-1}\left\{z[b(b+1)+2b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][b+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-b-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a-b+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+b(c-a)\right\}w\\
=&(1-u)^{b+1}\left\{-u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+2u\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
-(1-u)[c+(a-b+1)(1-u)^{-1}u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+b(c-a)\right\}w\\
=&-(1-u)^{b+1}\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[c-(c-a+b+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-b(c-a)\right\}w
\end{array}

取
:w={}_2F_1(c-a,b;c;u)

由 () 满足的超几何方程知等号右边为 0，再考虑函数 (1-) 在 =0 附近的性质即可得到 Pfaff 变换的公式。

Euler 变换
Pfaff 变换可以导出 Euler 变换，它将李代数参数 变成 -：
:\begin{array}{rcl}{}_2F_1(a,b;c;z)&=&(1-z)^{-b} \, {}_2F_1(c-a,b;c; \frac{z}{z-1})\\
&=&(1-z)^{-b}\left(1-\frac z{z-1}\right)^{a-c} \, {}_2F_1\left(c-a,c-b;c;\frac{\frac z{z-1}}{\frac z{z-1}-1}\right)\\
&=&(1-z)^{c-a-b} \, {}_2F_1(c-a,c-b;c;z),\quad |\arg(1-z)|

Pfaff 变换和 Euler 变换都是分式线性变换的例子，这得名于等式两边的超几何函数的宗量的联系，参见莫比乌斯变换。

将上面提到的四个连接关系与 Pfaff 变换及 Euler 变换组合起来，就得到完整的 Kummer 表。

给定一组李代数参数(,,)，(,,) 及其轮换对应着 24 个不同但彼此关联的超几何函数（,, 恒等于 ,,），利用前面提到的四个连接关系和 Pfaff 变换，它们中的任意一个可以通过任意另外两个表出。

例如 Euler 变换可以表示为：
:F_{\alpha,\beta,\mu}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,\mu,\beta}
\equiv F_{\alpha,\mu,-\beta}\xrightarrow{\text{Pfaff}}F_{\alpha,-\beta,\mu}

二次变换
下面是一个二次变换的例子：
:{}_2F_1(a,b;2a;z)=(1-z)^{-\tfrac b2}\,_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;\tfrac {z^2}{4z-4}),\quad |\arg(1-z)|

二次变换得名于等号两边超几何函数宗量的联系（一个二次函数和一个莫比乌斯变换的组合）。

证明
仿照上面 Pfaff 变换的证明，有：
:\begin{array}{cl}&z(1-z)\tfrac {\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}[(1-z)^{-\tfrac b2}w]

• \left[c-(a+b+1)z \right] \tfrac {\mathrm d}{\mathrm dz}[(1-z)^{-\tfrac b2}w] - ab(1-z)^{-\tfrac b2}w\\

=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z[\tfrac b2(\tfrac b2+1)+b(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}+(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}]
+[c-(a+b+1)z][\tfrac b2+(1-z)\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}]-ab(1-z)\right\}w\\
=&(1-z)^{-\tfrac b2-1}\left\{z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\right\}w\\
\end{array}

令
:c=2a,\quad u=\tfrac {z^2}{4z-4}=\tfrac14 (z+1-\tfrac 1{1-z})

则
: 1-u=\tfrac{(z-2)^2}{4(1-z)},\quad\tfrac{\mathrm du}{\mathrm dz}=\tfrac{z(z-2)}{4(1-z)^2},\quad
\tfrac{\mathrm d^2u}{\mathrm dz^2}=-\tfrac{1}{2(1-z)^3}

:\begin{array}{cl}&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[c-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b4[2(c-2a)+(2a-b)z]\\
=&z(1-z)^2\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dz^2}+(1-z)[2a-(a+1)z]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dz}
+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&\tfrac{z^3(z-2)^2}{16(1-z)^2}\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}-\tfrac z{2(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}
+\tfrac{z(z-2)(2a-az-z)}{4(1-z)}\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}+\tfrac b2(a-\tfrac b2)z\\
=&-z\left\{u(1-u)\tfrac{\mathrm d^2}{\mathrm du^2}+[a+\tfrac12-(a+1)u]\tfrac{\mathrm d}{\mathrm du}-\tfrac b2(a-\tfrac b2)\right\}
\end{array}

取
:w=\,{}_2F_1(a-\tfrac b2,\tfrac b2;a+\tfrac12;u)

仿照上面关于 Pfaff 变换的讨论，可得二次变换的公式。

其它例子
运用李代数参数，一般的二次变换可以表示为
:F_{\alpha,\beta,\mu}(z)=f(z)F_{\alpha',\beta',\mu'}(g(z)),\quad P(z)

其中 (),() 是 的函数， () 表示 要满足的约束。

下表给出了一些二次变换。

另外还有：
:\tfrac{2\Gamma(\tfrac 12)\Gamma(\tfrac{a+b+1}2)}{\Gamma(\tfrac{a+1}2)\Gamma(\tfrac{b+1}2)}F_{-\tfrac12,\beta,\tfrac\mu2}(z)=
F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12-\tfrac12\sqrt z\right)+F_{\beta,\beta,\mu}\left(\tfrac12+\tfrac12\sqrt z\right),\quad
|\arg z|

将它们与 Kummer 表组合起来，就得到所有的含有两个独立参变量的二次变换关系式。例如上面的例子可以通过组合第一行中的变换与 Pfaff 变换得到。

另外还有一些只含有一个独立参变量的二次变换关系式。

三次及高次变换
若一组李代数参数满足下列条件：有两个是 ±1/3，或者三个参数的绝对值相等，则有一个三次变换的公式将它与另一个超几何函数联系起来。

另外有一些 4 次和 6 次变换的公式。其它次数的变换公式只有当参数取特定有理数值时存在。参见。

特殊值
=0
:{}_2F_1(a,b;c;0)=1
=1
:{}_2F_1(a,b;c;1)=\tfrac{\Beta(a,c-a-b)}{\Beta(a,c-a)}=\tfrac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)},
\quad \Re(c)>\Re(a+b)
这称为高斯原理（Gauss's theorem），可以由超几何函数的积分表示得到。范德蒙恒等式是它的特殊情形。
=-1
:{}_2F_1 (a,b;1+a-b;-1)= \frac{\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+\tfrac12a)}{\Gamma(1+a)\Gamma(1+\tfrac12a-b)}
这可以通过组合上表中的第二个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 =1 时的特殊值得到。
=1/2
:_2F_1 \left(a,b;\tfrac12\left(1+a+b\right);\tfrac12\right) = \frac{\Gamma(\tfrac12)\Gamma(\tfrac12\left(1+a+b\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(1+a)\right)\Gamma(\tfrac12\left(1+b\right))}.

:_2F_1 \left(a,1-a;c;\tfrac12\right)= \frac{\Gamma(\tfrac12c)\Gamma(\tfrac12\left(1+c\right))}{\Gamma(\tfrac12\left(c+a\right))\Gamma(\tfrac12\left(1+c-a\right))}.

上面两式分别被称为高斯第二求和原理与 Balley 原理。它们都可以通过组合第三个二次变换和 Pfaff 变换，并利用 =1 时的特殊值得到。

参考文献
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• John Pearson, [http://people.maths.ox.ac.uk/porterm/research/pearson_final.pdf Computation of Hypergeometric Functions] (University of Oxford, MSc Thesis)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf and Doron Zeilberger, [https://web.archive.org/web/20060129095451/http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html The book "A = B"] (freely downloadable)

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