q阿佩尔函数（q-Appell function）又名q阿佩尔多项式（q-Appell polynomials）是数学家Jackson创立的阿佩尔函数的q模拟
《美国国家标准局数学函数手册》中给出的定义如下
q-阿佩尔函数是二变数超几何函数，共四个：
\Phi^{(1)}(a;b,b';c;x,y)=\sum_{m,n>0}\frac{(a;q)_{m+n}(b;q)_{m}(b';q)_{n}x^my^n}{(q;q)_{m}(q;q)_{n}(c;q)_{m+n}}
\Phi^{(2)}(a;b,b';c;x,y)=\sum_{m,n>0}\frac{(a;q)_{m+n}(b;q)_{m}(b';q)_{n}x^my^n}{(q;q)_{m}(q;q)_{n}(c;q)_{m+n}}
\Phi^{(3)}(a,a';b,b';c;x,y)=\sum_{m,n>0}\frac{(a,b;q)_{m}(a',b';q)_{n}x^my^n}{(q;q)_{m}(q;q)_{n}*(c;q)_{m+n}}
\Phi^{(4)}(a;b;c,c';x,y)=\sum_{m,n>0}\frac{(a,b;q)_{m+n}x^my^n}{(q,c;q)_{m}*(q,c';q)_{n}}
其中
:(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})
为Q阶乘幂
:(a,b;q)_{n}=(a;q)_{n}*(b;q)_{n}
关系式
\Phi^{(2)}(a;b,b';c,c';x,y)=\frac{(b,ax;q)_\infty}{(c,x,y;q)_\infty}\sum(\sum\frac{(a,b';q)_{n}(x;q)_{r}(c/a;q)_{r} }{(q,c';q)_{n}(q)_{r}(ax;q)_{n+r} },m=1..\infty),r=1..\infty)
.
参考文献
*H. M. Srivastava,Some Characterizations of Appell and Q-Appell Polynomials,University of Victoria, Department of Mathematics, 1981
*Thomas Ernst,Convergence Aspects for Q-appell Functions,Uppsala universitet, 2010
*Thomas Ernst,A Comprehensive Treatment of Q-Calculus,p381,p432,Birkhaus 2012
*[https://books.google.com.tw/books?id=PtuyIsQ3FGcC&pg=PA282&dq=q-Appell+function&hl=zh-TW&sa=X&ei=LJYfVZRv0ObwBevFgcgK&ved=0CB0Q6AEwAA#v=onepage&q=q-Appell%20function&f=false Basic Hypergeometric Series]
*[http://www.jstor.org/discover/10.2307/119515?sid=21105878061201&uid=70&uid=2129&uid=4&uid=3739216&uid=2 On Models of Uq(sl(2)) and q-Appell Functions Using a q-Integral Transformation]
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