费马引理是实分析中的一个定理，以皮埃尔·德·费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。
需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。
定理
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x\in U(x_0)，有
:f(x)\le f(x_0)或f(x)\ge f(x_0)
那么f^\prime(x_0)=0。
费马引理的一个推论是，函数f在定义域A内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。
证明
假设\displaystyle x_0是一个极大值（如果\displaystyle x_0是极小值，证明亦类似）。那么存在一个\delta > 0 ，使得对于所有的\displaystyle |x - x_0| ，都有f(x_0) \ge f(x)\, 。因此对于任何h \in (0,\delta)，有：
:\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \le 0.
由于当\displaystyle h从上方趋于0时，这个比值的極限存在且为\displaystyle f'(x_0)，我们便有f'(x_0) \le 0。另一方面，当h \in (-\delta,0)时，我们注意到：
:\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \ge 0
当\displaystyle h从下方趋于0时，这个极限存在，且等于\displaystyle f'(x_0)，我们又有f'(x_0) \ge 0。
因此\displaystyle f'(x_0) = 0。
参见
- 罗尔定理
- 微分中值定理
外部链接
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