在數學分析中，均值定理（）大致是講，給定平面上固定兩端點的可微曲線，則這曲線在這兩端點間至少有一點，在這點該曲線的切線的斜率等於兩端點連結起來的直線的斜率。{{notetag|這个定理有兩種翻譯：-{均值定理}-跟-{中值定理}-，與數學分析中另一重要定理：中間值定理（intermediate value theorem）容易混淆}}

更仔細點講，假設函數 f 在閉區間 [a,b] 連續且在開區間 (a,b) 可微，則存在一點c,\, a，使得

f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

中值定理包括微分中值定理和积分中值定理。

微分中值定理
微分中值定理分为罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，内容粗略的说是指平面上一段固定端點的可微曲线，兩端點之中必然有一点，它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同（严格的数学表达参见下文）。

當提到均值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日均值定理。
罗尔中值定理
如果函数f(x)满足

在闭区间[a,b]上连续；

在开区间(a,b)内可导；

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)内至少有一点\xi (a，使得f^\prime(\xi)=0

这个定理称为罗尔定理。

拉格朗日中值定理（均值定理）
令f:[a,b]\rightarrow \mathbf R为闭区间[a,b]上的一个连续函数，且在开区间(a,b)内可导，其中a。那么在(a,b)上存在某个c使得

f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

此定理称为拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是罗尔中值定理的更一般的形式，同时也是柯西中值定理的特殊情形。

这个定理在可以稍微推廣一點。只需假设 f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} 在 [a,b] 连续，且在開區間 (a,b) 内对任意一點 x，极限

\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

存在，为一个有限数字或者等于+∞或−∞.如果有限，则极限等于f'(x)。這版本定理应用的一个例子是函數 x \to x^{1/3}，实值三次方根函数，其导数在原点趋于无穷。

注意若一个可微函数的值域是複數而不是實數，則上面这定理就未必正确。例如，对實數 x 定义f(x)=e^{ix}。那么

f(2\pi)-f(0)=0\neq f'(c)(2\pi - 0)

因|f'(x)| = 1\neq 0 时，c 為開區間 (0, 2\pi) 中任意一點。

柯西中值定理
柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是中值定理的一般形式，其叙述为：如果函数 f 和 g 都在闭区间[a, b] 上连续，且在开区间 (a, b) 上可导，那么存在某个c \in (a, b)，使得

(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c)\,

当然，如果g(a) \ne g(b) 且 g'(c) \ne 0，則可表示成：

\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}

在几何上，这表示曲线
\begin{cases}[a,b] \to \mathbb{R}^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}
上存在一點其切線平行于由兩點（f(a), g(a)）和（f(b), g(b)）所連接的直线。但柯西定理不能表明在任何情况下這種切線都存在，因为可能存在一些c值使f(c) = g(c) = 0，所以在这些点曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

t\mapsto (t^3,1-t^2)

在区间[-1,1]上，曲线由(-1,0)到\left(1,0\right)，却并无一个水平切线，但在t=0处有一个驻点（实际上是一个尖点）。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则。拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g(t) = t时的特殊情况。

积分中值定理
积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其退化状态均指在ξ的变化过程中存在一个时刻使两个图形的面积相等（严格表述在下面）。
积分第一中值定理
设f:[a,b]\rightarrow \mathbb R为一连续函数，g:[a,b]\rightarrow \mathbb R要求g(x)是可积函数且在积分区间不变号，那么存在一点\xi\in (a,b)使得

\int_a^b f(x)g(x)\,dx= f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx。

证明
在不失去一般性的条件下，设对所有x，有g(x) \geq 0；
因为f是闭区间上的连续函数，f取得最大值M和最小值m。于是
mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)

对不等式求积分，我们有
m\int_a^b g(x)\,dx\leq \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M\int_a^b g(x)\,dx。
若\int_a^b g(x)\,dx=0，则\int_a^b f(x)g(x)\,dx=0。\xi可取[a,b]上任一点。

若不等于零那么\int_a^b g(x)\,dx>0，
m\leq \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}\leq M
因为m\leq f(x)\leq M是连续函数，根據介值定理，则必存在一点\xi\in [a,b]，使得
f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)g(x)\,dx}{\int_a^b g(x)\,dx}

g(x)的情况按同样方法证明。

推论（拉格朗日中值定理的积分形式）
在上式中令g(x)=1，则可得出：

设f:[a,b]\rightarrow \mathbf R为一连续函数，则∃\xi \in [a,b]，使

f(\xi)= \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}

它也可以由拉格朗日中值定理推出：

设F(x)在[a,b]上可导，f(x)=F^\prime(x)，则∃\xi \in [a,b]，使

f(\xi) = F^\prime(\xi)= \frac{F(b)-F(a)}{b-a} = \frac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}

积分第二中值定理
积分第二中值定理与积分第一中值定理相互独立，却又是更精细的积分中值定理。它可以用来证明Dirichlet-Abel反常Riemann积分判别法。
内容
若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使
\int_a^b {f(x)g(x)\mathrm{d}x = } f(a)\int_a^\xi {g(x)\mathrm{d}x+ } f(b)\int_\xi ^b {g(x)\mathrm{d}x}

退化态的几何意义
令g(x)=1，则原公式可化为：
\int_a^b {f(x)dx}=f(a)(\xi-a)+f(b)(b-\xi)
进而导出：
\int_a^\xi {f(x)dx}-f(a)(\xi-a)=f(b)(b-\xi)-\int_\xi^b {f(x)dx}

此时易得其几何意义为：
能找到ξ∈[a,b]，使得S[红]+S[蓝]=S[阴影]，即S[I]=S[II]

应用
关于积分中值定理的一个重要应用是可以去除掉积分号，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

注释
参见

• 罗尔定理
• 柯西中值定理
• 介值定理
• 极值定理