微分的線性

在微积分中，函数的任何线性组合的导数等于函数的导数的相同线性组合，此属性称为微分的线性（linearity of differentiation）、线性法则（rule of linearity）、或微分的叠加法则。导数的基本属性是将两个简单的微分法则封装在一起：求和法则（两个函数之和的导数是导数的和）和常数法则（函數的常數倍的導數是該函數的導數的常數倍）。因此，可以说微分作用是线性的，或者微分算子是线性的算子。

說明
設 和 為函數，同時 和 是常數，思考：

: \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x) )

通過微分的求和法則：

: \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) ) + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} (\beta \cdot g(x))

通過微分的常數法則，這一式子變為：

: \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x)

進而：

: \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x}(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x)

忽略括號，這常被寫作

: (\alpha \cdot f + \beta \cdot g)' = \alpha \cdot f'+ \beta \cdot g'

參考資料