卡马萨-霍尔姆方程
卡马萨-霍尔姆方程（）是流体力学中的一个非线性偏微分方程 u_t + 2\kappa u_x - u_{xxt} + 3 u u_x = 2 u_x u_{xx} + u u_{xxx}. 1993年卡马萨和霍尔姆以此偏微分方程模拟浅水波，其中\kappa是大于0的参数。 行波解 卡马萨-霍尔姆方程有行波解： u_2 := \frac{3c(c - 2\kappa)}{2(c + \kappa)\cosh^2\left(\frac{1}…
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亨特 - 萨克斯顿方程
亨特 - 萨克斯顿方程(Hunter–Saxton equation)是一个模拟向列型液晶中波动传播的非线性偏微分方程： : (u_t + u u_x)_x = \frac{1}{2} \, u_x^2 解析解 亨特 - 萨克斯顿方程有解析解： u(x,t)=\frac{1}{1-t/2}(x-t)+1 此外，Maple软件包 TWSolution 给出多个行波解： ;tanh 展开法 f1 := u(x, t) = -1.704545…
KdV方程
科特韦赫-德弗里斯方程（），一般简称KdV方程，是1895年由荷兰数学家迪德里克·科特韦赫和古斯塔夫·德弗里斯共同发现的一种偏微分方程。关于实自变量x 和t 的函数φ所满足的KdV方程形式如下： :\partial_t\phi-6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=0 KdV方程的解为簇集的孤立子（又称孤子，孤波）。 KdV方程的行波解 KdV 方程有多种孤波解。 钟形孤波解 :\phi(x,t)=\…
扎哈罗夫-库兹涅佐夫方程
扎哈罗夫-库兹涅佐夫方程（Zhakharov-Kutznezov equation)是一个非线性偏微分方程。 \frac{\partial u}{\partial t}+au(x,y,t)\frac{\partial u}{\partial x}+bu^2(x,y,t)\frac{\partial u}{\partial x}+c\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}+d\frac{\partial^3 u}…
伯格斯方程
伯格斯方程（）是一个模拟冲击波的传播和反射的非线性偏微分方程，給定函數 u(x, t) ，與擴散係數 \nu ，則一維的伯格斯方程可以寫成以下的形式: \frac{\partial u(x, t)}{\partial t}+u(x, t)\frac{\partial (u(x, t))}{\partial x} = \nu\frac{\partial^2 (u(x, t))}{\partial x^2} Backlund 变换 伯格斯方…
藏本-西瓦辛斯基方程
藏本-西瓦辛斯基方程（）是一个非线性常微分方程： \frac{\partial u}{\partial t}=-u\frac{\partial u}{\partial x}-\alpha\frac{\partial^2 u }{\partial x^2}-\beta\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}-\gamma\frac{\partial^4 u }{\partial x^4} 此方程的解析解为 u(x…
广义藏本-西瓦辛斯基方程
广义藏本-西瓦辛斯基方程（）是一个非线性偏微分方程： u_{t}+u^ku_{x}+\alphau_{xx}+\betau_{xxx}+\gammau_{xxxx}=0 解析解 :u1 = ((3(k+1))(2k+3)\beta^3/(8(k+3)^2\gamma^2))^(1/k)\exp(-\betaz/((2(k+3))\gamma))cosh(k\betaz/((2(k+3))\gamma))^(-3/k) :u2 = ((k…
程函方程
程函方程（Eikonal equation) 是一个非线性偏微分方程 sys := (u(x, t)_t))^2+(u(x, t)_x)^2-4 = 0 行波解 g[1] := {u(x, t) = C4-(2(C1+C2x+C3t))/\sqrt{C3^2+C2^2}} g[2] := {u(x, t) = C4+(2(C1+C2x+C3t))/\sqrt{C3^2+C2^2}} 参考文献 谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用…
Tanh函数展开法
Tanh 函数展开法是目前求解非线性偏微分方程行波解的最强劲的和行之有效的方法。1992年数学家 Malfliet 首先应用 tanh 展开法 运用这个方法要进行的大量繁杂的运算，必须借助Maple、Mathematica、Matlab等计算机代数系统。 设一个非线性偏微分方程可以用下列表述： \psi(u,u_{t},u_{x},u_{tt},u_{xx},u_{tx})=0 作变数代换： u(x,t)→ U(\xi) \xi=k(x…
卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程
岸雷岛（RHE）鲸鱼灯塔拍摄的照片，显示浅海上田字形的椭圆余弦波列。这种浅水中的孤波可以由卡东穆夫-彼得韦亚斯维利方程模拟。]] 卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利方程(Kadomtsev-Petviashvili equation)，简称KP方程，是1970年苏联物理学家波里斯·卡东穆塞夫 和弗拉基米尔-彼得韦亚斯维利创立以模拟非线性波动的非线性偏微分方程： :\displaystyle \partial_x(\partial_t u+u \…
薛定谔-牛顿方程
薛定谔-牛顿方程（），亦称为牛顿-薛定谔方程（）、薛定谔-泊松方程（），是引入了牛顿引力势的非线性薛定谔方程，其中引力势来自作为质量密度处理的波函数，使该方程与通常的薛定谔方程相比多出了表示粒子与其自身引力场相互作用的一项。这一包含自相互作用的项是对经典量子力学原则的根本改变。该方程既可以写成单个积分-微分方程，也可以写成一个薛定谔方程和一个泊松方程的耦合系统。 薛定谔-牛顿方程最初由鲁菲尼（Ruffini）和博纳佐拉（Bonazzol…
金兹堡-朗道方程
金兹堡-朗道方程，或金兹堡-朗道理论（），是由维塔利·金兹堡和列夫·朗道在1950年提出的一个描述超导现象的理论。早期的金兹堡-朗道方程只是一个唯象的数学模型，从宏观的角度描述了第一类超导体。1957年，苏联物理学家阿列克谢·阿布里科索夫基于金兹堡-朗道理论提出了第二类超导体的概念。1959年，结合BCS理论，从微观角度严格证明了金兹堡-朗道理论是BCS理论的一种极限情况。为了表彰金兹堡和阿布里科索夫对超导理论的贡献，他们与研究超流理论…
费希尔方程
在数学中， 费希尔方程（Fisher equation），是由生物学家罗纳德·艾尔默·费希尔于1936年为了研究人群中某基因的传播，以及逻辑型的生长-扩散现象而引入的一个非线性偏微分方程。此方程可以描述一些在生物学和化学系统中出现的波的传播现象，例如燃烧、扩散和传质、非线性扩散、生态学以及反应堆中的中子数量等等。 费希尔方程是费希尔-柯尔莫哥洛夫方程的一种特例。 解析解 费希尔方程的行波解（traveling-wave solution…
纽厄尔-怀特海德方程
纽厄尔-怀特海德方程（Newell-Whitehead equation)是一个非线性偏微分方程： u_{t}-u_{xx}-\alphau+betau^3=0 行波解 纽厄尔-怀特海德方程有行波解： :u(x, t) = 1/\sqrt(\beta), :u(x, t) = -1/\sqrt(\beta), :u(x, t) = -(1/2I)/\sqrt(-\beta)-(1/2)cot(_C1-(1/4I)\sqrt(2)x-(3…
查普里金方程
恰普雷金方程（）是俄罗斯物理学家谢尔盖·阿列克谢耶维奇·恰普雷金在1904年发表的描写喷气流的非线性偏微分方程： 0.5u_{tt}+u_{x}u_{xt}-u_{t}u_{xx}=0 解析解 :u(x, t) = _C1+_C2(_C3+C[1]x+_C4t) :u(x, t) = _C1+((1/2)\pi-_C3-C[1]x-_C4t)_C2 :u(x, t) = _C1+\arctan(1/\sqrt(csc(_C3+C[1]x…
齐次蒙日-安培方程
齐次蒙日-安培方程（Homogeneous Monge-Ampère equation）是一个常见于黎曼几何的非线性偏微分方程，同時也是卡拉比-丘流形證明時曾用的工具。 廣義而言，定義兩個獨立變量x,y，以及一個非獨立變量u，蒙日-安培方程可以表述為： L[u] = A(u_{xx}u_{yy} - u_{xy}^2) + Bu_{xx} + 2Cu_{xy} + Du_{yy} + E = 0, 這裡的A,B,C,D,E為一階變量x,…
广田-萨摩方程组
广田-萨摩方程(Hirota Satsuma equation)是一个三元非线性偏微分方程组： :\begin{cases} u_t-\frac{1}{2}u_{xxx}+3uu_x-3(vw)_x=0,\\ v_t+v_{xxx}-3uv_x=0,\\ w_t+w_{xxx}-3uw_x=0.\end{cases} 解析解 :u(x, t) = -(1/3)(-_C3+_C2^3)/_C2, v(x, t) = 0, w(x, t) …
川原方程
川原方程（Kawahara pde）是一个非线性偏微分方程： \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+a\frac{\partial^3 u}{\partial x^3}=b\frac{\partial^5 u}{\partial x^5} 广义川原方程有如下形式： \frac{\partial u}{\partial t}+(1+u^2)\frac{\p…
五阶KdV方程
五阶KdV方程(Fifth order KdV equation)是一个非线性偏微分方程，简称fKdV方程： u_{t}+\alphau^2u_{x}+\betau_{x}u_{xx}+\gammauu_{xxx}+\deltau_{xxxxx}=0 解析解 :u(x, t) = 6_C3^2(-(6(-12\delta\alpha+\beta^2+2\beta\gamma-\sqrt(-40\delta\alpha\beta^2+\b…
费希尔-柯尔莫哥洛夫方程
费希尔-柯尔莫哥洛夫方程是以英国统计学家罗纳德·费希尔和俄国数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫命名的非线性偏微分方程，常见于热传导、燃烧理论、生物学、生态学等领域。某些文献 通过重新定义时间的尺度，可以不失一般性地令参数 D 等于1，因此一些文章中直接将形如 u_t - u_{xx} + \mu u + \nu u^2 + \delta u^3=0 称为KPP方程。其他形似KPP方程的，例如 {\partial u}/{\partial t} …