科特韦赫-德弗里斯方程（），一般简称KdV方程，是1895年由荷兰数学家迪德里克·科特韦赫和古斯塔夫·德弗里斯共同发现的一种偏微分方程。关于实自变量x 和t 的函数φ所满足的KdV方程形式如下：
:\partial_t\phi-6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=0
KdV方程的解为簇集的孤立子（又称孤子，孤波）。
KdV方程的行波解
KdV 方程有多种孤波解。
*钟形孤波解
:\phi(x,t)=\frac12\, c\, \mathrm{sech}^2\left[{\sqrt{c}\over 2}(x-c\,t-a)\right]
*扭形孤波解
:\phi(x,t)=k\, \mathrm{tanh}[k(x+2tk^2+c)]
*暗孤波解
\phi(x,t)= a+b\, \mathrm{tanh}(1+cx+dt)^2
File:Bellsoliton2.gif|钟形孤波解
File:Twister soliton.gif|扭形孤波解
File:Dark solition.gif|暗孤波解
tanh 法解
利用Maple tanh 法可得 孤立子解：。
:{u(x, t) = (1/6)(4_C2^3-_C3)/_C2-2_C2^2csc(_C1+_C2x+_C3t)^2}
: {u(x, t) = (1/6)(4_C2^3-_C3)/_C2-2_C2^2sec(_C1+_C2x+_C3t)^2}
: u(x, t) = -(1/6)(4_C2^3+_C3)/_C2-2_C2^2csch(_C1+_C2x+_C3t)^2
: {u(x, t) = -(1/6)(4_C2^3+_C3)/_C2+2_C2^2sech(_C1+_C2x+_C3t)^2}
: {u(x, t) = (1/6)(8_C2^3-_C3)/_C2-2_C2^2coth(_C1+_C2x+_C3t)^2}
: {u(x, t) = (1/6)(8_C2^3-_C3)/_C2-2_C2^2tanh(_C1+_C2x+_C3t)^2}
: {u(x, t) = -(1/6)(8_C2^3+_C3)/_C2-2_C2^2cot(_C1+_C2x+_C3t)^2}
: {u(x, t) = -(1/6)(8_C2^3+_C3)/_C2-2_C2^2tan(_C1+_C2x+_C3t)^2}
:{u(x, t) = (1/6)(-8_C3^3+4_C3^3_C1^2-_C4)/_C3+2_C3^2JacobiDN(_C2+_C3x+_C4t, _C1)^2}
: {u(x, t) = (1/6)(-8_C3^3+4_C3^3_C1^2-_C4)/_C3+(2_C3^2-2_C3^2_C1^2)JacobiND(_C2+_C3x+_C4t, _C1)^2}
: {u(x, t) = (1/6)(4_C3^3_C1^2+4_C3^3-_C4)/_C3-2_C3^2JacobiNS(_C2+_C3x+_C4t, _C1)^2}
: {u(x, t) = (1/6)(4_C3^3_C1^2+4_C3^3-_C4)/_C3-2_C3^2_C1^2JacobiSN(_C2+_C3x+_C4*t, _C1)^2}
: {u(x, t) = -(1/6)(8_C3^3_C1^2-4_C3^3+_C4)/_C3+(-2_C3^2+2_C3^2_C1^2)JacobiNC(_C2+_C3x+_C4t, _C1)^2}
: {u(x, t) = -(1/6)(8_C3^3_C1^2-4_C3^3+_C4)/_C3+2_C3^2_C1^2JacobiCN(_C2+_C3x+_C4*t, _C1)^2}
:9.81207-7.70406I+5.44331arctanh(10.4881/\sqrt(-110.csc(1.40000+1.50000x+1.60000*t)^2+110.))
: 9.81207-7.70406I-5.44331arctan(10.4881/\sqrt(-110.csch(1.40000+1.50000x+1.60000*t)^2-110.))
: 9.81207-7.70406I+5.44331arctan(10.4881/\sqrt(-110.csch(1.40000+1.50000x+1.60000*t)^2-110.))
三维行波图
联系
KdV方程在物理学的许多领域都有应用，例如等离子体磁流波、离子声波、非谐振晶格振动、低温非线性晶格声子波包的热激发、液体气体混合物的压力表等。
KdV方程也可以用逆散射技术求解。
相关
- 格罗斯–皮塔耶夫斯基方程
- 孤立子
延伸阅读
- Korteweg, D. J. and de Vries, F. "On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves." Philosophical Magazine, 39, 422–443, 1895.
- P. G. Drazin. Solitons. Cambridge University Press, 1983.
参考文献
*谷超豪 《孤立子理论中的达布变换及其几何应用》 上海科学技术出版社
*阎振亚著 《复杂非线性波的构造性理论及其应用》 科学出版社 2007年
李志斌编著 《非线性数学物理方程的行波解》 科学出版社
#王东明著 《消去法及其应用》 科学出版社 2002
*何青 王丽芬编著 《Maple 教程》 科学出版社 2010 ISBN 9787030177445
#Graham W. Griffiths William E.Shiesser Traveling Wave Analysis of Partial Differential p135 Equations Academy Press
Richard H. Enns George C. McCGuire, Nonlinear Physics Birkhauser,1997
#Inna Shingareva, Carlos Lizárraga-Celaya,Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple Springer.
#Eryk Infeld and George Rowlands,Nonlinear Waves,Solitons and Chaos,Cambridge 2000
#Saber Elaydi,An Introduction to Difference Equationns, Springer 2000
#Dongming Wang, Elimination Practice,Imperial College Press 2004
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