卡马萨-霍尔姆方程（）是流体力学中的一个非线性偏微分方程
u_t + 2\kappa u_x - u_{xxt} + 3 u u_x = 2 u_x u_{xx} + u u_{xxx}.
1993年卡马萨和霍尔姆以此偏微分方程模拟浅水波，其中\kappa是大于0的参数。
行波解
卡马萨-霍尔姆方程有行波解：
u_2 := \frac{3c(c - 2\kappa)}{2(c + \kappa)\cosh^2\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{c - 2\kappa}{c}}(ct -x - x_0)\right)}.
將參數 c = 1, x_0 = 1, \kappa = 0.3 代入得：
u(x, t) \approx \frac{0.46154}{\cosh^2[0.31623(-x + t - 1)]}.
Maple TWSolution
Maple软件包TWSolution可提供多种行波解，有以下形式：
\textbf{sech} 展開
\begin{aligned}
g[2] := u(x, t) &= -\frac{1}{2}\kappa + C_2 \operatorname{sech}^2\left(C_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}t\right), \\
g[3] := u(x, t) &= -\frac{1}{2}\kappa + C_2 \operatorname{sech}^2\left(C_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}t\right), \\
g[4] := u(x, t) &= C_2 - \left(\frac{3}{2}C_2 + \frac{3}{4}\kappa\right)\operatorname{sech}^2\left(C_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}ix - \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}it\right), \\
g[5] := u(x, t) &= C_2 - \left(\frac{3}{2}C_2 + \frac{3}{4}\kappa\right)\operatorname{sech}^2\left(C_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}ix + \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}it\right), \\
g[6] := u(x, t) &= -\frac{C_3 - 4C_3 C_2^2 + 2\kappa C_2}{C_2(3 + 4C_2^2)} + \frac{24C_2(2C_3 + \kappa C_2)}{16C_2^4 - 9}\operatorname{sech}^2(C_1 + C_2 x + C_3 t).
\end{aligned}
\textbf{exp} 展開
\begin{aligned}
g[2] := u(x, t) &= -\frac{\sqrt{3}}{9}C_1 - \frac{1}{3}\kappa + C_2 \exp(-\sqrt{3}x + C_1 t), \\
g[3] := u(x, t) &= \frac{\sqrt{3}}{9}C_1 - \frac{1}{3}\kappa + C_2 \exp(\sqrt{3}x + C_1 t), \\
g[5] := u(x, t) &= -\frac{\sqrt{3}}{3}C_1 - \frac{1}{3}\kappa + C_2 \exp(-\sqrt{3}x + 3C_1 t).
\end{aligned}
\textbf{csch} 展開
\begin{aligned}
g[2] := u(x, t) &= -\frac{1}{2}\kappa + C_2 \operatorname{csch}^2\left(C_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}t\right), \\
g[4] := u(x, t) &= C_2 + \left(\frac{3}{2}C_2 + \frac{3}{4}\kappa\right)\operatorname{csch}^2\left(C_1 + \frac{\sqrt{3}}{2}ix - \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}it\right), \\
g[6] := u(x, t) &= -\frac{C_3 - 4C_3 C_2^2 + 2\kappa C_2}{C_2(4C_2^2 + 3)} - \frac{24C_2(2C_3 + \kappa C_2)}{16C_2^4 - 9}\operatorname{csch}^2(C_1 + C_2 x + C_3 t).
\end{aligned}
\textbf{sec} 展開
\begin{aligned}
g[3] := u(x, t) &= -\frac{1}{2}\kappa + C_2 \sec^2\left(C_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}ix + \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}it\right), \\
g[5] := u(x, t) &= C_2 - \left(\frac{3}{2}C_2 + \frac{3}{4}\kappa\right)\sec^2\left(C_1 - \frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\kappa}{4}t\right), \\
g[6] := u(x, t) &= \frac{C_3 + 4C_3 C_2^2 + 2\kappa C_2}{C_2(4C_2^2 - 3)} - \frac{24C_2(2C_3 + \kappa C_2)}{16C_2^4 - 9}\sec^2(C_1 + C_2 x + C_3 t).
\end{aligned}
\textbf{JacobiSN} 展開
\begin{aligned}
g[3] := u(x, t) &= \frac{\sqrt{3}}{9}i C_1 - \frac{1}{3}\kappa + C_2 \sin\left(C_3 - \sqrt{3}ix + C_1 t\right), \\
g[4] := u(x, t) &= -\frac{2\sqrt{3}}{9}i C_1 - \frac{1}{2}C_2 - \frac{1}{3}\kappa + C_2 \sin^2\left(C_3 + \frac{\sqrt{3}}{2}ix + C_1 t\right).
\end{aligned}
参考文献
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