線性化

数学上的線性化（linearization）是找函数在特定點的线性近似，也就是函數在該點的一階泰勒级数。在动力系统研究中，線性化是分析非線性微分方程系統或是非線性離散系統，在特定平衡点局部穩定性的一種方法。 此方法常應用在工程学、物理学、经济学及生态学的應用中。
函數的線性化
函数的線性化為線性函數。針對函數y = f(x)，若要用在任意點x = a下的值及其圖形斜率來進行近似時，假設f(x)在[a, b]（或[b, a]）區間內可微，且b鄰近a，線性化是可以有效近似的方法。簡單來說，線性化就是在x = a點附近，以直線來近似函數的值。例如\sqrt{4} = 2，那麼針對\sqrt{4.001} = \sqrt{4 + .001}，利用線性化就可能可以找到理想的近似公式。

針對任意函數y = f(x)，f(x)在已知可微分點附近的位置，都可以被近似。最基本的要求是L_a(a) = f(a)，其中L_a(x)是f(x)在x = a的線性化。一次方程的圖形會形成直線，例如通過點
(H, K)，斜率為M為直線。方程式的一般形為y - K = M(x - H)。

若是配合點(a, f(a))，L_a(x)即變成y = f(a) + M(x - a)。因為可微分函數是局部線性，該點的斜率可以用f(x)在點x = a切線的斜率來代替。

函數局部線性的意思也表示函數圖形上的點可以任意接近點x = a，相對來說比較接近的點，其線性近似的效果也會比較好。斜率M最準確的值會是在x = a點的切線斜率。

旁邊的圖可以說明f(x)在點x的切線。在f(x+h)位置，其中h是小的正值或是負值，f(x+h)非常接近(x+h, L(x+h))點的切線。

函數在點x = a線性化的最終方程為：

y = (f(a) + f'(a)(x - a))

針對x = a，f(a) = f(x)。函數f(x)的導數為f'(x)，而函數f(x)在點a的斜率為f'(a)。

例子
若要找\sqrt{4.001}，可以用\sqrt{4} = 2的資訊。函數f(x) = \sqrt{x}在點x = a的線性化為y = \sqrt{a} + \frac{1}{2 \sqrt{a}}(x - a)，因為函數f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}定義了函數f(x) = \sqrt{x}在點x的斜率。

代入a = 4，其線性化結果為y = 2 + \frac{x-4}{4}。

針對x = 4.001的例子，可得\sqrt{4.001}近似2 + \frac{4.001-4}{4} = 2.00025。其實際值為2.00024998，非常接近，此線性化的誤差小於1%的百萬分之一。

多變數函數的線性化
函數f(x,y)在點p(a,b)線性化的方程式為：

f(x,y) \approx f(a,b) + \left. {\frac} \right|_{a,b} (x - a) + \left. {\frac} \right|_{a,b} (y - b)

多變數函數f(\mathbf{x})在點\mathbf{p}線性化的通式為

f({\mathbf{x}}) \approx f({\mathbf{p}}) + \left. {\nabla f} \right|_{\mathbf{p}} \cdot ({\mathbf{x}} - {\mathbf{p}})

其中\mathbf{x}是變數向量，而\mathbf{p}是要線性化的點。

線性化的應用
配合線性化的技術，可以用研究線性系統的工具來分析非線性系統在特定點附近的行為。函數在特定點附近的線性化是在該點附近泰勒级数的一階展開。針對以下的系統

:\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{F}(\mathbf{x},t),

其線性化系統為

:\frac{d\mathbf{x}}{dt} \approx \mathbf{F}(\mathbf{x_0},t) + D\mathbf{F}(\mathbf{x_0},t) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x_0})

其中\mathbf{x_0}是要觀測的特定點，而D\mathbf{F}(\mathbf{x_0})是\mathbf{F}(\mathbf{x})在點\mathbf{x_0}所計算的雅可比矩阵。

穩定性分析
在自治系统的穩定性分析中，可以用在計算雅可比矩阵的特征值來判斷平衡點的特徵。這就是的內容。若是時變系統，其線性化需要考量其他的因素。

微观经济学
在微观经济学中，可以用狀態空間下線性化的作法來近似。若以此方式分析，效用最大化的欧拉方程可以在平穩穩態附近進行線性化

相關條目

• 線性穩定性

*
*

• 泰勒公式

*

參考資料
外部連結

• [http://www.mathworks.com/discovery/linearization.html Linearization for Model Analysis and Control Design]