拐点

函數的拐點]]
拐點（）或稱-{zh-cn:反曲点; zh-tw:拐點;}-，是一條连续曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義
若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某点的二阶導數為零或不存在，且二阶导数在该点两侧符号相反，该点即为函数的拐点。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐点的必要条件
拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x_0\in (a,b)，若(x_0 ,f(x_0 ))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f*(x_0 )=0。
比如，f(x)=x^4，有f*(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x^4的拐点。

拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，f(x_0)=0，若在x_0两侧附近f(x)异号，则点(x_0,f(x_0))为曲线的拐点。否则（即f*(x_0)保持同号），(x_0,f(x_0))不是拐点。

分類
拐點可以根據f'(x)為零或不為零，進行分類：

• 如果f'(x)為零，此點為拐點的驻点，簡稱為鞍點。
• 如果f'(x)不為零，此點為拐點的非驻点。

例如：y = x^3的點(0, 0)是一個鞍點，切線為x軸，切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的拐點
平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與拐點
雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性獨立的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

註：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的拐點
設C為域F上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點P \in C(F)，使得該點切線L_P與C在P點的相交重數\geq 3。

注意到一條曲線與C在P點相切的充要條件是相交重數\geq 2。當F = \mathbb{R}時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

参见

• 驻点
• 鞍点
• 极值

文獻

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.