柯西中值定理，也叫拓展中值定理，是拉格朗日中值定理的推广，是微分学的基本定理之一。

内容
如果函数f(x)及g(x)满足
#在闭区间[a,b]上连续；
#在开区间(a,b)内可微分；
#对任意x\in (a,b),g'(x)\neq 0；
那么在(a,b)内至少有一点\xi (a，使等式

:\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
或

:(f(b)-f(a))g\,'(\xi)=(g(b)-g(a))f\,'(\xi)\,

成立。

其几何意义为：用参数方程表示的曲线上至少有一点，它的切线平行于两端点所在的弦。

但柯西定理不能表明在任何情况下不同的两点(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切线，因为可能存在一些c值使,换句话说取某个值时位于曲线的驻点;在这些点处，曲线根本没有切线。下面是这种情形的一个例子

:t\mapsto(t^3,1-t^2),

在区间[−1,1]上，曲线由(−1,0)到(1,0),却并无一个水平切线;然而它有一个驻点(实际上是一个尖点)在时。

柯西中值定理可以用来证明洛必达法则. 拉格朗日中值定理是柯西中值定理当时的特例。

证明
首先，如果g(a)=g(b)，由罗尔定理，存在一点x_0\in (a,b)使得g'(x_0)=0，与条件3矛盾。所以g(a)\neq g(b)。

令 h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g(x) 。那么

h在[a,b]上连续，

h在(a,b)上可导，

h(a)=h(b)= \frac{f(a)g(b)-f(b)g(a)}{g(b)-g(a)} 。由罗尔定理，存在一点 c\in (a,b) 使得 h'(c)=0 。即 f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot g'(c) 。命题得证。

参见
*拉格朗日中值定理
*微分中值定理
*罗尔定理