对数微分法

对数微分法（）是在微积分学中，通过求某函数f的来求得函数导数的一种方法，

:[\ln(f)]' = \frac{f'}{f} \quad \rightarrow \quad f' = f \cdot [\ln(f)]'.

这一方法常在函数对数求导比对函数本身求导更容易时使用，这样的函数通常是几项的积，取对数之后，可以把函数变成容易求导的几项的和。这一方法对幂函数形式的函数也很有用。对数微分法依赖于链式法则和对数的性质（尤其是自然对数），把积变为求和，把商变为做差。这一方法可以应用于所有恆不为0的可微函数。

概述
对于某函数

:y=f(x)\,\!

运用对数微分法，通常对函数两边取绝对值后取自然对数。

:\ln|y| = \ln|f(x)|\,\!

运用隐式微分法，可得

:\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)}

两边同乘以y，则方程左边只剩下dy/dx：

:\frac{dy}{dx} = y \times \frac{f'(x)}{f(x)} = f'(x).

对数微分法有用，是因为对数的性质可以大大简化复杂函数的微分，常用的对数性质有：
:f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}=
g(x)h(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}

商函数
对如下形式的两个函数的商函数
:f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\,\!
两边取自然对数，可得如下形式的差函数
:\ln(f(x))=\ln\Bigg(\frac{g(x)}{h(x)}\Bigg)=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!
应用链式法则，两边求导，得
:\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}
整理，可得
:f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}=
\frac{g(x)}{h(x)}\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}

右边通分之后，结果和对f(x)运用除法定则所得结果相同。

复合指数函数
对于如下形式的函数
:f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!
两边取自然对数，可得如下形式的积函数
:\ln(f(x))=\ln\left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x) \ln(g(x))\,\!
应用链式法则，两边求导，得
:\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}
整理，得
:f'(x) = f(x)\times \Bigg\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigg\}=
g(x)^{h(x)}\times \Bigg\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigg\}.
与将函数f看做指数函数，直接运用链式法则所得结果相同。

参见

• 对数恒等式

参考文献
外部链接
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