时间导数

时间导数是函数对时间的导数，通常解释为函数值的变化率。 时间变量通常写作t 。

记号
时间导数的记号有很多种。除了常用的莱布尼茨记号（\frac {dx} {dt}）

在物理学中，还有一种简写记号（牛顿表示法）是“上点” \dot{x}

二阶时间导数可以写成 \frac {d^2x} {dt^2} ，简写为\ddot{x}

更一般地，对于向量v
: \mathbf v = \left[ v_1,\ v_2,\ v_3, \ldots \right]

其时间导数定义为：各分量逐项对时间求导。即，
: \frac {d \mathbf v } {dt} = \left[ \frac{ d v_1 }{dt},\frac {d v_2 }{dt},\frac {d v_3 }{dt}, \ldots \right] .

物理学中的应用
时间导数是物理学中的一个关键概念。例如，对于一个变化的位置x，其对时间的导数\dot{x}是它的速度，对时间的二阶导数\ddot{x}是它的加速度。更高阶的导数有时也有意义：位置对时间的三阶导数称为急动度（jerk） 。参见运动图和导数。

物理学中，大量基本方程都涉及物理量的一阶或二阶时间导数。科学中的许多其他基本物理量也是时间导数，例如：

• 力是动量对时间的导数。
• 功率是能量对时间的导数
• 电流是电荷对时间的导数

在物理学中，向量（例如速度或位移）的时间导数时常出现。在处理这种导数时，需要注意向量的大小和方向都可能随时间变化。

实例：圆周运动
（ r ， θ ）之间的关系。]]
考虑一个沿圆形路径运动的粒子，它的位置由位移矢量表示：r=x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}。位移矢量与图中的角度θ和径向距离r相关：

: \begin{align}
x &= r \cos(\theta) \\
y &= r \sin(\theta)
\end{align}

在本例中，我们假设 。因此，任意时刻t 的位移（位置）由下式给出：

: \mathbf{r}(t) = r\cos(t)\hat{\imath}+r\sin(t)\hat{\jmath}

该公式表明， r ( t )所描述的运动是在半径为r的圆周上进行的，因为r ( t )的大小由下式给出：

: |\mathbf{r}(t)| = \sqrt{\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{r}(t)}=\sqrt {x(t)^2 + y(t)^2 } = r\, \sqrt{\cos^2(t) + \sin^2(t)} = r

利用三角恒等式 化简（其中\cdot是点积）。

利用位移的矢量表示形式，可以求出速度。位移矢量的时间导数就是速度矢量。一般来说，矢量的导数仍是矢量，该矢量的每个分量都是原矢量对应分量的导数。因此，在本例中，速度矢量为：

:
\begin{align}
\mathbf{v}(t) = \frac {d\,\mathbf{r}(t) }{dt} &= r \left[\frac{d\, \cos(t)}{dt}, \frac{d\, \sin(t)}{dt} \right] \\
&= r\ [ -\sin(t),\ \cos(t)] \\
&= [-y (t), x(t)].
\end{align}

因此，即使位置矢量的大小（即旋转半径）是恒定的，粒子的速度也不为零。速度的方向垂直于位移，这点可以通过点积来确定：

: \mathbf{v} \cdot \mathbf{r} = [-y, x] \cdot [x, y] = -yx + xy = 0\, .

加速度是速度对时间的导数：

: \mathbf{a}(t) = \frac {d\, \mathbf{v}(t)}{dt} = [-x(t), -y(t)] = -\mathbf{r}(t)\, .

加速度方向指向旋转轴，与位置矢量方向相反，与速度矢量方向垂直。这种指向内的加速度称为向心加速度。

经济学中的应用
在经济学中，许多关于各种经济变量演变的理论模型都是在连续时间下构建的，因此需要用到时间导数。 比如存量变量及其时间导数，即流量变量。具体例子有：

• 净固定投资流量是资本存量的时间导数。
• 存货投资流量是存货存量的时间导数。
• 货币供应量的增长率是货币供应量的时间导数除以货币供应量本身。

有时，模型中会出现流量变量的时间导数：

• 产出增长率是产出流量对时间的导数除以产出。
• 劳动力增长率是劳动力随时间变化的导数除以劳动力。

参见

• 微分学
• 微分符号
• 圆周运动
• 向心力
• 时间速率

参考