微分表示法

在微分学中，微分并没有统一的表示方法。莱布尼茨、牛顿、拉格朗日和阿尔博加斯特等数学家提出了多种记号，表示函数或因变量的导数。实际使用中，视不同情况使用不同记号。专业领域，例如多元微积分、张量分析或向量微积分中的偏导数，则通常使用其特殊符号，例如下标符号或∇运算符。下面列出了最常用的微分符号（及其逆运算，即反微分或不定积分）。

莱布尼茨表示法
戈特弗里德·莱布尼茨的记号广泛运用于数学领域。当方程表示因变量和自变量之间的函数关系时，常常使用这种表示方法。莱布尼茨表示法表示y对x求导为 \frac{dy}{dx}.

此外，函数在处的导数可以写成

: \frac{df}{dx}(x)\text{ 或 }\frac{d f(x)}{dx}\text{ 或 }\frac{d}{dx} f(x).

高阶导数可以写成：

: \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^3y}{dx^3}, \frac{d^4y}{dx^4}, \ldots, \frac{d^ny}{dx^n}.

上述记法是源于下面的简化：

: \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \left(\frac{d}{dx}\right)^2y = \frac{d^2y}{dx^2}.

在莱布尼茨表示法中， 在点处导数的值可以用如下两种方式表示：

: \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=a} \text{ 或 } \frac{dy}{dx}(a).

莱布尼茨符号允许指定求导的变量（由分母指定）。这在偏导数中尤其有用。它也使得链式法则更易记忆、理解： \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

莱布尼茨的微分符号体系并没有严格定义或 （称为）之类的记号，一些教科书的作者也并未给这些符号赋予含义。 莱布尼茨将这些符号视为无穷小量。后来，一些学者赋予了它们其他含义。例如，非标准分析中它们被定义为无穷小量或外导数。在当下的研究中， 通常不予定义，或等同于 \Delta x。其中， 通过赋予了特定的含义，该定义由以下方程确定：

: dy = \frac{dy}{dx} \cdot dx

也可以写成：

: df = f'(x) \cdot dx

这也是某些文献中，导数被称为“微分系数”（ 的系数）的原因。

有些作者和期刊用罗马字体而非斜体表示微分符号 ，比如

ISO/IEC 80000科学格式指南推荐这种字体。

拉格朗日表示法
该记号现代最常用的微分记号之一，它以约瑟夫·路易·拉格朗日的名字命名。实际上，该记法是由欧拉发明、由拉格朗日推广的。在拉格朗日表示法中，撇号表示导数——它有时也被称为撇号符号。如果f 是一个函数，那么它在x 处的导数记为

: f'(x).

它最早于1749 年在印刷品中出现 。

高阶导数用多个撇号表示，例如： f(x)表示二阶导数、f*(x)表示三阶导数。高阶导数用撇号表示会很麻烦，因此有些作者使用罗马数字表示高阶导数（通常用小写形式） ，例如

: f^{\mathrm{iv}}(x), f^{\mathrm{v}}(x), f^{\mathrm{vi}}(x), \ldots,

表示四阶、五阶、六阶及更高阶导数。也有作者使用阿拉伯数字，并用括号括住表示，例如：

: f^{(4)}(x), f^{(5)}(x), f^{(6)}(x), \ldots.

这种符号也能描述n阶导数，其中n可以是变量。写成：

: f^{(n)}(x).

与拉格朗日表示法相关的Unicode字符包括

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当一个函数有两个自变量时（如f(x,y)），记号定义如下：

: \begin{align}
f^\prime &= \frac{\partial f}{\partial x} = f_x \\[5pt]
f_\prime &= \frac{\partial f}{\partial y} = f_y \\[5pt]
f^{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = f_{xx} \\[5pt]
f_\prime^\prime &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}\ = f_{xy} \\[5pt]
f_{\prime\prime} &= \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}
\end{align}

拉格朗日反微分表示法
求反导数时，拉格朗日记法遵循莱布尼茨表示法：

: f(x) = \int f'(x)\,dx = \int y'\,dx.

由于积分是微分的逆运算，拉格朗日表示高阶导数的记号也适用于积分。函数f的多次积分可以写成如下形式：

: f^{(-1)}(x) 表示一次积分 (容易与 反函数 f^{-1}(x)混淆),
: f^{(-2)}(x) 表示二次积分,
: f^{(-3)}(x) 表示三次积分,
: f^{(-n)}(x) 表示 n次 积分.

D 表示法
这种表示方法有时被称为欧拉表示法，虽然它是由路易·弗朗索瓦·安托万·阿尔博加斯特引入的 并且莱昂哈德·欧拉似乎并没有使用过这种表示方法。 [需要来源]

该记号有时可作为微分算子使用，记为 （ D 算子） 或 （牛顿-莱布尼茨算子）。 当该算子应用于函数时，它定义为

: (Df)(x) = \frac{df(x)}{dx}.

高阶导数表示为D的“幂”（其中上标表示D的迭代复合），如下所示：

: D^2f 表示2阶导数,
: D^3f 表示3阶导数
: D^nf 表示n阶导数.

D 表示法隐含了被微分的变量。当然，也可以通过下标显式地标注被微分变量：如果f是变量x的函数，则可以写成如下形式

: D_x f 表示1阶导数,
: D^2_x f 表示2阶导数
: D^3_x f 表示3阶导数
: D^n_x f 表示n阶导数

当f是多元函数时，通常使用“ ∂ ”（一种花体小写字母 d）而不是“ ”表示。如上所述，下标表示所求导数的变量。例如，函数的二阶偏导数f(x,y)是：

:
\begin{align}
& \partial_{xx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \\[5pt]
& \partial_{xy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \\[5pt]
& \partial_{yx} f = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}, \\[5pt]
& \partial_{yy} f = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.
\end{align}

参见

D 表示法在微分方程和微分代数的研究中很有用。

反导数的D表示法
D 表示法可以像拉格朗日表示法一样用于反导数，如下所示

: D^{-1}f(x) 表示1阶反导数,
: D^{-2}f(x) 表示2阶反导数
: D^{-n}f(x) 表示n阶反导数.

牛顿表示法
艾萨克·牛顿的微分表示法（也称为点表示法、流数表示法，有时也简称为“飞点记号 ”）是因变量上方加一个点。如果y是t的函数，那么y对t的导数为：

: \dot y

高阶导数用多个点表示，例如：

: \ddot y, \overset{...}{y}

牛顿扩展了这种记号体系：

: \begin{align}
\ddot{y} &\equiv \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\Bigl(\dot{y}\Bigr) = \frac{d}{dt}\Bigl(f'(t)\Bigr) = D_t^2 y = f(t) = y_t \\[5pt]
\overset{...}{y} &= \dot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^3y}{dt^3} = D_t^3 y = f(t) = y_t \\[5pt]
\overset{\,4}{\dot{y}} &= \overset{....}{y} = \ddot{\ddot{y}} \equiv \frac{d^4y}{dt^4} = D_t^4 y = f^{\rm IV}(t) = y^{(4)}_t \\[5pt]
\overset{\,5}{\dot{y}} &= \ddot{\overset{...}{y}} = \dot{\ddot{\ddot{y}}} = \ddot{\dot{\ddot{y}}} \equiv \frac{d^5y}{dt^5} = D_t^5 y = f^{\rm V}(t) = y^{(5)}_t \\[5pt]
\overset{\,6}{\dot{y}} &= \overset{...}{\overset{...}{y}} \equiv \frac{d^6y}{dt^6} = D_t^6 y = f^{\rm VI}(t) = y^{(6)}_t \\[5pt]
\overset{\,7}{\dot{y}} &= \dot{\overset{...}{\overset{...}{y}}} \equiv \frac{d^7y}{dt^7} = D_t^7 y = f^{\rm VII}(t) = y^{(7)}_t \\[5pt]
\overset{\,10}{\dot{y}} &= \ddot{\ddot{\ddot{\ddot{\ddot{y}}}}} \equiv \frac{d^{10}y}{dt^{10}} = D_t^{10} y = f^{\rm X}(t) = y^{(10)}_t \\[5pt]
\overset{\,n}{\dot{y}} &\equiv \frac{d^ny}{dt^n} = D_t^n y = f^{(n)}(t) = y^{(n)}_t
\end{align}

与牛顿表示法相关的Unicode字符包括：

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当自变量表示时间时，通常使用牛顿表示法。如果位置是t的函数，那么\dot y表示速度、\ddot y表示加速度。 这种表示方法在物理学和数学物理中很流行。它常用于与物理学相关的数学领域，例如用微分方程表示的物理定律方程。

牛顿在 曲线X ( ⵋ ) 侧边加点定义了以下偏微分算子。

: \begin{align}
\mathcal{X} \ &=\ f(x,y) \,, \\[5pt]
\cdot\mathcal{X} \ &=\ x\frac{\partial f}{\partial x} = xf_x\,, \\[5pt]
\mathcal{X}\!\cdot \ &=\ y\frac{\partial f}{\partial y} = yf_y\,, \\[5pt]
\colon\!\mathcal{X}\,\text{ or }\,\cdot\!\left(\cdot\mathcal{X}\right) \ &=\ x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = x^2 f_{xx}\,, \\[5pt]
\mathcal{X}\colon\,\text{ or }\,\left(\mathcal{X}\cdot\right)\!\cdot \ &=\ y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = y^2 f_{yy}\,, \\[5pt]
\cdot\mathcal{X}\!\cdot\ \ &=\ xy\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y} = xy f_{xy}\,,
\end{align}

牛顿积分表示法
牛顿在《曲线求积》 （1704 年）和后来的著作中发明了许多积分记号：在因变量上方写一个小竖线或撇号（ ）、前面加上一个矩形（ ）、用矩形框住（ ）来表示流积分或时间积分（ 位移积分 ）。

: \begin{align}
y &= \Box \dot{y} \equiv \int \dot{y} \,dt = \int f'(t) \,dt = D_t^{-1} (D_t y) = f(t) + C_0 = y_t + C_0 \\
\overset{\,\prime}{y} &= \Box y \equiv \int y \,dt = \int f(t) \,dt = D_t^{-1} y = F(t) + C_1
\end{align}

为了表示多次积分，牛顿使用两个小竖线或撇号（ ），或者组合使用符号（ 或  ），来表示二阶时间积分。

: \overset{\,\prime\prime}{y} = \Box \overset{\,\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime}{y} \,dt = \int F(t) \,dt = D_t^{-2} y = g(t) + C_2

高阶时间积分表示形式如下：

: \begin{align}
\overset{\,\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime}{y} \,dt = \int g(t) \,dt = D_t^{-3} y = G(t) + C_3 \\
\overset{\,\prime\prime\prime\prime}{y} &= \Box \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \equiv \int \overset{\,\prime\prime\prime}{y} \,dt = \int G(t) \,dt = D_t^{-4} y = h(t) + C_4 \\
\overset{\;n}\overset{\,\prime}{y} &= \Box \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \equiv \int \overset{\;n-1}\overset{\,\prime}y \,dt = \int s(t) \,dt = D_t^{-n} y = S(t) + C_n
\end{align}

由于印刷困难，这种数学符号并未得到广泛应用。 参见莱布尼茨-牛顿微积分之争

偏导数
在多元微积分或张量分析等多变量分析中，需要表示更具体的微分类型时，通常使用其他记号。

对于一个只包含自变量x的函数f ，我们可以用自变量的下标来表示其导数：

: \begin{align}
f_x &= \frac{df}{dx} \\[5pt]
f_{x x} &= \frac{d^2f}{dx^2}.
\end{align}

这种表示方法对于求多元函数的偏导数尤其有用。

表示求偏导数时，通常用符号“ ∂ ”代替微分算子d 。例如，我们可以用符号“∂”表示函数关于x ，但不关于y或z的导数：

: \frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f.

区分出符号“∂”的重要原因是，非偏导数记号（例如\textstyle \frac{df}{dx}）有时会考虑其他变量的同时变化，比如全导数。而偏导数（例如\textstyle \frac{\partial f}{\partial x}），则明确了只能有一个变量发生变化。

该记号可见于数学、物理学和工程学的各个子领域：例如，热力学的麦克斯韦关系式中 \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!S} 是在保持熵（下标） S不变的情况下，温度T对体积V的导数，而\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_{\!P} 是在压力P保持不变的情况下，温度对体积的导数。当变量数量超过自由度时，就需要用到上述记号，用于确定不变的量。

对一个变量的高阶偏导数表示为

:
\begin{align}
& \frac{\partial^2f}{\partial x^2} = f_{xx}, \\[5pt]
& \frac{\partial^3f}{\partial x^3} = f_{xxx},
\end{align}

混合偏导数可以表示为

: \frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = f_{xy}.

两种表示法中变量的顺序相反：

:
\begin{align}
& (f_x)_y = f_{xy}, \\[5pt]
& \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2f}{\partial y \, \partial x}.
\end{align}

当上述表示方法过于冗长时，则会使用多重指标。考虑定义在 \R^n 上的函数, 我们定义一个长度为n的有序数列（n \in \mathbb{N}）: \alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n), \ \alpha_i \in \Z_{\geq 0}. 对于函数 f:\R^n \to X, 多重指标微分定义为
: \partial^\alpha f = \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} f

这样，一些用其他方式写起来很繁琐的结果（例如莱布尼茨规则）就可以简洁地表达出来——多重指标条目中有相应例子。

向量微积分中的记号
向量微积分是研究向量场或标量场的微分和积分。这类记号通常定义在三维欧几里得空间中。

假设是笛卡尔坐标系， 其中有一个具有分量的向量场\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z) 、一个标量场 \varphi = \varphi(x,y,z)。

微分算子，记为∇ ，也称为del或nabla，定义为一个向量：

: \nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)\!,

该等式象征性地反映了运算符∇也被视为普通向量。该记号最早由威廉·罗文·汉密尔顿发明。

• 梯度： 标量场\varphi的梯度 \mathrm{grad\,} \varphi 是一个向量，其符号表示为 ∇ 与标量场 \varphi 的乘积

:: \begin{align}
\operatorname{grad} \varphi
&= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \frac{\partial \varphi}{\partial y}, \frac{\partial \varphi}{\partial z} \right) \\
&= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \varphi \\
&= \nabla \varphi
\end{align}

• 散度：向量场A的散度\mathrm{div}\,\mathbf{A}是一个标量，可以用 ∇ 与向量A的点积来表示。

:: \begin{align}
\operatorname{div} \mathbf{A}
&= {\partial A_x \over \partial x} + {\partial A_y \over \partial y} + {\partial A_z \over \partial z} \\
&= \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot \mathbf{A} \\
&= \nabla \cdot \mathbf{A}
\end{align}

• 拉普拉斯算子：标量场\varphi的拉普拉斯算子\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi是一个标量，其符号表示为 ∇ 2与标量场φ的标量乘法。

:: \begin{align}
\operatorname{div} \operatorname{grad} \varphi
&= \nabla \cdot (\nabla \varphi) \\
&= (\nabla \cdot \nabla) \varphi \\
&= \nabla^2 \varphi \\
&= \Delta \varphi \\
\end{align}

• 旋度：向量场A的旋度\mathrm{curl}\,\mathbf{A} （或\mathrm{rot}\,\mathbf{A}）是一个向量，可以用 ∇ 与向量A的叉积来符号表示

:: \begin{align}
\operatorname{curl} \mathbf{A}
&= \left(
{\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} },
{\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} },
{\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} }
\right) \\
&= \left( {\partial A_z \over {\partial y} } - {\partial A_y \over {\partial z} } \right) \mathbf{i} +
\left( {\partial A_x \over {\partial z} } - {\partial A_z \over {\partial x} } \right) \mathbf{j} +
\left( {\partial A_y \over {\partial x} } - {\partial A_x \over {\partial y} } \right) \mathbf{k} \\
&= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\cfrac{\partial}{\partial x} & \cfrac{\partial}{\partial y} & \cfrac{\partial}{\partial z} \\
A_x & A_y & A_z
\end{vmatrix} \\
&= \nabla \times \mathbf{A}
\end{align}

许多导数的运算法则，可以通过梯度算子直接推广。例如，单变量乘法法则可以通过应用梯度算子，直接类比成标量场的乘法，如下所示。

: (f g)' = f' g+f g' ~ \Longrightarrow ~ \nabla(\phi \psi) = (\nabla \phi) \psi + \phi (\nabla \psi).

单变量微积分中的许多其他规则，在向量微积分中都有对应的梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子。

针对特殊的空间类型，人们发展出了其他符号。在闵可夫斯基空间中进行计算时，常使用达朗贝尔算子（也称为达朗贝尔算子、波算子或盒算子），其表示为\Box、或者\Delta（当不与拉普拉斯算子冲突时）。

参考文獻