不稳定性
在許多領域中，不穩定是指一個可由其輸出或內在狀態描述的系統，其狀態可能會不受限制的成長（有時會稱為發散）。另一個對應的詞是穩定性理論，穩定有許多種定義，其中一種定義是指對系統施加一個小型的外擾，使系統離開一平衡狀態，外擾去除後，系統會回到原來的平衡狀態。 以右圖為例： 一個山丘上的球，若推往任何一個方向，球會移動離開山丘，在推力消除後，球仍會繼續往下滾，離山丘的距離越來越遠，這是不穩定的系統。 一個山谷中的球，若推往任何一個方向，球會移…
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拉薩爾不變集原理
拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。 全域穩定性版本 考慮以…
穩定性理論
数学中的穩定性理論（）是指微分方程的解以及動態系統的軌跡在初始條件有小擾動時的穩定性。像熱傳導方程式就是穩定的偏微分方程，因為初始值的小擾動只會造成之後溫度的小幅變化（這是偏微分方程中的結果）。在偏微分方程中可以用Lp範數或是sup範數來量測二個函數之間的距離，而在微分幾何中可以用來量測二個空間之間的距離。 在動態系統中，為李雅普诺夫稳定的條件是，在前進軌道上的任何一點，都會在夠小的鄰域中，或是會維持在小的鄰域內（也許會比原來的距離要遠…
結構穩定性
在数学里，结构稳定性是动力系统的基本性质，是指轨迹的定性行为不会被小摄动（确切地说，是C1小的摄动）所影响。 这类定性性质的例子包括有不动点、周期点（但不包括其周期）。结构稳定性和李雅普诺夫稳定性不同，李雅普诺夫稳定性考虑固定系统初始条件的摄动，结构稳定性则是处理系统本身的摄动。此概念的变体可应用在常微分方程、微分流形上的向量场、所产生的流，以及微分同胚。 结构稳定系统是由亚历山大·安德罗诺夫和列夫·庞特里亚金在1937年提出的，当时用…
線性穩定
在微分方程和动力系统中，非線性系統的穩態線性不穩定（linearly unstable）的意思是其解線性化後，有dr/dt = A r的形式，而r為相對穩態的擾動，而A是線性算子，其谱的特徵值有正的實部。若所有的特徵值都為負，則此解即為線性穩定（linearly stable）。線性穩定的其他名稱有指數穩定（exponential stability）或一階近似穩定（stability in terms of first approxi…
林纳德–奇帕特判据
在控制系统理论中，林纳德–奇帕特判据（）是一个由劳斯–赫尔维茨稳定性判据修改而来的稳定性判据，由A. Liénard和M. H. Chipart提出。 这个判据比劳斯–赫尔维茨稳定性判据的优势在于它只涉及一半数量的行列式运算。 算法 回顾劳斯–赫尔维茨稳定性判据，实系数多项式 ::f(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n \, (a_0 > 0) 的所有根都有负实部的（即 f 是赫尔维茨稳定…
多穩態
動態系統的多穩態（）是指系統狀態所形成的向量空間有多個穩定平衡點，系統可以在多個穩定平衡點切換，但是在穩定平衡點之間的是不穩定的平衡點。 假如某些點在某個方向穩定，但在其他方向不穩定，則視為不穩定，就像三點系統中拉格朗日点中、、的情形，這三個點在二星體連線之法平面上穩定，但在星體連線上不穩定。 双稳 双稳（Bistability）是有二個穩定平衡點的系統，是最簡單的多穩態，可以出現在只有一個狀態變數的系統，因為只需要一維空間來分隔二個穩…
劳斯–赫尔维茨稳定性判据
劳斯–赫尔维茨稳定性判据（）是控制理论中的一個數學判据，是線性时不变系统（LTI）穩定的充分必要條件。劳斯測試是由英國數學家在1876年提出的快速演算法，可以判斷一線性系統其特徵方程式的根是否都有負的實部。德國數學家阿道夫·赫維茲在1895年獨立的提出將多項式的係數放到一個方陣中（此方陣稱為赫維茲矩陣），證明多項式穩定若且唯若赫維茲矩陣的主要子矩陣其行列式形成的數列均為正值。二個程序是等價的，而劳斯測試提供一個有效計算赫維茲行列式的方法…
臨界穩定
臨界穩定（marginally stable）是在动力系统及控制理论中，針對系統穩定性的描述，線性时不变系统若不是漸近穩定，但也不是不稳定，就屬於臨界穩定。系統若會回到某特定狀態，而且會維持在該狀態附近（稱為穩態），即為穩定。若系統不受限制地離原狀態越來越遠，即為不穩定。臨界穩定的系統介於上述二個情形之間，若離某一穩態一段距離，系統不會回到穩態，但也不會不受限制地偏離穩態。臨界穩定有時也稱為是隨遇穩定（neutral stability…
鞍點
鞍點（）指一個非局部極值點的駐點。鞍點這詞語來自於不定二次型x^2 - y^2\,的二維圖形，像個馬鞍：在x-軸-{方向}-往上曲，在y-軸-{方向}-往下曲。 数学描述 廣義而說，一個光滑函數（曲線、曲面或超曲面）的鞍點鄰域的曲線、曲面或超曲面，都位於马鞍点點的切線的不同邊。 检验 检验二元实函数F(x,y)的驻点是不是鞍点的一个简单的方法，是计算函数在这个点的黑塞矩阵：如果該矩陣行列式小于0，则该点就是鞍点。例如，函数z=x^2-y…
平衡点 (数学)
在数学中，平衡点（equilibrium point）是相对微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。 定义 对于微分方程 :\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n 若\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=0对任意t都成立，则称\tilde{\math…
稳定性判据
在控制理论，尤其是稳定性理论中，稳定性判据是用來判斷系统稳定的條件。有许多常见的稳定性判据： ：離散線性非時變系統的穩定性判據。 圆判据：非線性時變系統的穩定性判據。 波波夫判據：非線性特性滿足開區間條件（open-sector condition），非線性系統的絕對穩定性判據。 Jury稳定性判据：用離散線性非時變系統的特徵方程式係數評估穩定性。 林纳德–奇帕特判据：用連續線性非時變系統的特徵方程式係數評估穩定性。 奈奎斯特稳定判据：…
李雅普诺夫稳定性
在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x_0 附近的軌跡均能維持在 x_0 附近，那么该系统可以称为在x_0處李雅普诺夫稳定。 若任何初始條件在 x_0 附近的軌跡最後都趨近x_0，那么该系统可以称为在x_0處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。 李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可…
超穩定性
超穩定性（hyperstability）是穩定性理論中系統的一個特性，是指若系統的輸入限制在所有可能輸入中的一個子集，其状态向量仍需維持有界，此理論是羅馬尼亞控制工程學家在1964年提出。 一系統為超穩定性，若存在二個常數k_1 \ge 0, k_2 \ge 0，使得系統的任何軌跡都滿足以下不等式： :\| x(t) \| 超穩定性常用在自适应控制系統中，在系統參數未知或存在不確定性的情形，仍可使系統穩定。 參考資料 相關條目 穩定性理…
奈奎斯特稳定判据
在控制理论和稳定性理论中，奈奎斯特稳定判据（）是贝尔实验室的瑞典裔美国电气工程师哈里·奈奎斯特于1932年发现，用于确定動態系统稳定性的一种图形方法。由于它只需检查对应开环系统的奈奎斯特图，可以不必准确计算闭环或开环系统的零极点就可以使运用（虽然必须已知右半平面每一种类型的奇点的数目）。因此，他可以用在由无理函数定义的系统，如时滞系统。与波德圖相比，它可以处理右半平面有奇点的传递函数。此外，还可以很自然地推广到具有多个输入和多个输出的复…
Kalman–Yakubovich–Popov引理
Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是及控制理论的結果，其中提到：給定一數\gamma > 0，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若(A,B)具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q :A^T P + P A = -Q Q^T : P B-C = \sqrt{\gamma}Q 存在的充份必要條件是 : \…
圓判據
圓判據（circle criterion）是非線性控制及穩定性理論中，針對非線性時變系統的稳定性判据。可以視為是針對线性时不变系统（LTI）的奈奎斯特稳定判据之擴展版本。 簡介 考慮一個線性系統，但有非線性的回授，也就是在回授路徑上有非線性元素\varphi(v, t)，假設此元素滿足區間條件[\mu_1,\mu_2]（即\mu_1 v \le \varphi(v,t) \le \mu_2 v,\ \forall v,t），而且（為了簡…
穩定多項式
在探討微分方程或是差分方程的時，多項式若滿足任一個性質，即稱為穩定： 所有的根都在左半平面开集內。 所有的根都在单位圆盘开集內。 第一個條件是連續時間線性系統的穩定條件，第二個條件則是離散時間線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為赫爾維茨多項式，第一個條件的多項式則是。穩定多項式常出現在控制理论中，也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性时不变系统（參照线性时不变系统理论）為BIBO穩定的條件是所有有界輸入的輸出都是有界…
波波夫判據
波波夫判據（Popov criterion）是非線性控制以及穩定性理論中的穩定性判據，由所提出，是針對非線性特性滿足開區間條件（open-sector condition）之非線性系統的絕對穩定性。Popov準則只適用於非時變的非線性系統，而圓判據可以用在時變的非線性系統。 系統敘述 波波夫研討的，是Lur'e系統中的一子集合，可以用下式描述： : \begin{align} \dot{x} & = Ax+bu \\ \dot{\xi}…
指數穩定
控制理论的指數穩定（exponentially stable）是线性时不变系统（LTI）的特性。連續時間LTI系指數穩定的充分必要條件，是其特徵值（輸入-輸出系統的极点）實部均為負值（也就是极点在复平面的左半平面)。離散時間LTI系统指數穩定的充分必要條件，是其传递函数在複數平面上，原點為零的單位圓內（不得在單位圓上）。 指數穩定是一種李雅普诺夫稳定。李雅普诺夫稳定中有一種較嚴格的條件為渐进稳定，指數穩定的系統也都是渐进稳定的系統。 針…