在探討微分方程或是差分方程的時，多項式若滿足任一個性質，即稱為穩定：
- 所有的根都在左半平面开集內。
- 所有的根都在单位圆盘开集內。
第一個條件是連續時間線性系統的穩定條件，第二個條件則是離散時間線性系統的穩定性條件。若符合第一個條件的多項式稱為赫爾維茨多項式，第一個條件的多項式則是。穩定多項式常出現在控制理论中，也應用在微分方程及差分方程的數學理論中。線性时不变系统（參照线性时不变系统理论）為BIBO穩定的條件是所有有界輸入的輸出都是有界。若線性系統的特徵方程為穩定多項式，系統則為BIBO穩定系統。若是連續時間系統，其分母需為赫爾維茨多項式，若是離散時間系統，其分母需為舒爾多項式。實務上，可以透過一些稳定性判据來判斷穩定性。
性質
*提供了判斷多項式是否為赫爾維茨穩定的演算法，是用劳斯–赫尔维茨稳定性判据及林纳德–奇帕特判据來實現。
- 若要測試某多項式P（次數為d）是否為舒爾穩定，將上述定理用在以下轉換後的多項式中
: Q(z)=(z-1)^d P\left({{z+1}\over{z-1}}\right)
是在莫比乌斯变换 z \mapsto {{z+1}\over{z-1}}後的結果，將左半平面映射到開集的單位圓內。P為舒爾穩定，若且唯若Q為赫爾維茨穩定而且 P(1)\neq 0。針對高次的多項式可以用其他的測驗方式（例如Schur-Cohn測試、或是）來判定，可以避免映射上的複雜計算。
- 必要條件：（實係數的）赫爾維茨穩定多項式其係數符號都相同（均為正數或是均為負數）。
- 充份條件：（實係數的）多項式 f(z)=a_0+a_1 z+\cdots+a_n z^n若滿足以下條件：: a_n>a_{n-1}>\cdots>a_0>0,
則多項式為舒爾穩定。
乘積律：二個（同樣考慮赫爾維茨穩定或舒爾穩定）多項式f及g都穩定的充份必要條件為其乘積fg*穩定。
例子
- 4z^3+3z^2+2z+1 為舒爾穩定，因為滿足充份條件。
- z^{10}為舒爾穩定（因為所有的根都為零），但不滿足充份條件。
- z^2-z-2不是赫爾維茨穩定（其根為-1,2），因為其違反了必要條件。
- z^2+3z+2 是赫爾維茨穩定（其根為-1,-2）。
- 多项式 z^4+z^3+z^2+z+1 （都是正係數），既不是赫爾維茨穩定，也不是舒爾穩定，其根為5次单位根中的4個原根
:: z_k=\cos\left({{2\pi k}\over 5}\right)+i \sin\left({{2\pi k}\over 5}\right), \, k=1, \ldots, 4 \ .
:注意
:: \cos({{2\pi}/5})={{\sqrt{5}-1}\over 4}>0.
:這是舒爾穩定的臨界情形，因為根恰好在單位圓上，也看到上述的赫爾維茨穩定條件（根均為正）只是必要條件，不是充份條件。
外部連結
- [http://mathworld.wolfram.com/StablePolynomial.html Mathworld page]
相關條目
- 稳定性判据
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