拉薩爾不變集原理（LaSalle's invariance principle）也稱為不變集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉薩爾原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非線性系統）李雅普诺夫稳定性的判斷準則。
全域穩定性版本
考慮以下方程式的系統
: \dot{\mathbf{x}} = f \left(\mathbf x \right)
其中\mathbf x為符合以下條件的變數向量
: f \left( \mathbf 0 \right) = \mathbf 0.
若可以找到C^1 函数 V(\mathbf x)，使下式成立
: \dot{V}(\mathbf x) \le 0 針對所有 \mathbf x（半負定）
則任何軌跡中聚點（accumulation point）的集合都在{\mathcal I}內， {\mathcal I}是其完整軌跡完全在 \{\mathbf x : \dot{V}( \mathbf x) = 0 \}集合的聯集。
若V函數又有正定的性質，即
: V( \mathbf x) > 0 ，針對所有的 \mathbf x \neq \mathbf 0
: V( \mathbf 0) = 0
而且{\mathcal I}除了\mathbf x(t) = \mathbf 0 for t \geq 0的平凡軌跡外，未包括其他軌跡，則原點為李雅普诺夫稳定性。
再者，若V是徑向無界（radially unbounded）
: 當 \Vert \mathbf x \Vert \to \infty 時， V(\mathbf x) \to \infty
原點為全域漸近穩定。
局部穩定性版本
若
: V( \mathbf x) > 0 ，當 \mathbf x \neq \mathbf 0時
: \dot{V}(\mathbf x) \le 0
當 \mathbf x 在原點的鄰域D內才成立，且集合
: \{ \dot{V}( \mathbf x) = 0 \} \bigcap D
除了\mathbf x(t)=\mathbf 0, t \geq 0的軌跡外，不包括其他系統的軌跡，則依照拉薩爾不變集原理的局部穩定版本，原點有局部的漸近穩定性。
和李雅普诺夫稳定性的關係
If \dot{V} ( \mathbf x) 為負定，則原點的全域漸進穩定是李雅普诺夫第二定理的結果。若\dot{V} ( \mathbf x)只是半負定，不變集原理也是判斷漸近穩定性的準則。
例子：有摩擦力的單擺
此段落會用不變集原理來確立簡單系統的區部漸近穩定性。此系統的微分方程如下：
: m l \ddot{\theta} = - m g \sin \theta - k l \dot{\theta}
其中\theta是單擺的角度，以垂直往下的角度為0度，m是單擺的質量，k是摩擦係數，g是因重力產生的加速度。
因此可以將系統方程式表示如下
: \dot{x}_1 = x_2
: \dot{x}_2 = -\frac{g}{l} \sin x_1 - \frac{k}{m} x_2
利用不變集原理，可以證明一定大小的球體，若初始位置在原點附近x_1 = x_2 = 0，可以證明其所有的軌跡都會漸近收斂到原點。定義V(x_1,x_2)為
: V(x_1,x_2) = \frac{g}{l} (1 - \cos x_1) + \frac{1}{2} x_2^2
V(x_1,x_2)即為系統的能量。V(x_1,x_2) 在原點附近，半徑\pi的開球體內為正定。計算其導數
: \dot{V}(x_1,x_2) = \frac{g}{l} \sin x_1 \dot{x}_1 + x_2 \dot{x}_2 = - \frac{k}{m} x_2^2
可觀察到V(0) = \dot{V}(0) = 0。若 \dot{V} 成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有軌跡都會到達原點的結論。不過很可惜， \dot{V} \leq 0 及\dot{V}只是半負定。不過，以下集合
: S = \{ (x_1,x_2) | \dot{V}(x_1,x_2) = 0 \}
也就是
: S = \{ (x_1,x_2) | x_2 = 0 \}
除了平凡軌跡x = 0外，不包括系統內的任何軌跡。若在特定時間 t, x_2(t)=0，則因為x_1必需小於\pi，則 \sin x_1 \neq 0 且\dot{x}_2(t) \neq 0 。因此，軌跡不會停留在集合S內。
不變集原理的所有條件都滿足，也可以下結論說：所有在原點附近的軌距，當t \rightarrow \infty 時，最後都會收斂到原點。
歷史
此結果是由（在）及兩人獨立發現，兩人分別在1960年及1969年發表。約瑟夫·皮爾·拉薩爾在1960年發表此論文，是西方第一位發表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶維奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年時由克拉索夫斯基發表了一般性的定理。
相關條目
- 穩定性理論
- 李雅普诺夫稳定性
原始論文
- LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. ([http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf PDF] )
*
- Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.
教科書
*
*
*
*
教材
- 德克萨斯州农工大学不變集原理的講義（[https://web.archive.org/web/20151119234718/http://www.ee.tamu.edu/~huang/files/materials606/nonlinear9.pdf PDF]）
- 北卡罗来纳州立大学拉薩爾不變集原理的講義（[http://www4.ncsu.edu/~schecter/ma_532_fa12/lasalle.pdf PDF] ）
- 加利福尼亞理工學院拉薩爾不變集原理的講義（[http://www.cds.caltech.edu/archive/help/uploads/wiki/files/237/Lecture2_notes_CDS270.pdf PDF] ）
- 麻省理工学院拉薩爾穩定性分析及不變集原理的開放講程講義（[http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-30-feedback-control-systems-fall-2010/lecture-notes/MIT16_30F10_lec22.pdf PDF] ）
- 普渡大學穩定性理論及拉薩爾不變集原理的講義（[https://engineering.purdue.edu/~jianghai/Teaching/695/Lec_11_Stability%201.pdf PDF]）
參考資料
评论 (0)