在数学中，平衡点（equilibrium point）是相对微分方程或差分方程的概念，多指微分方程的常数解（constant solution）。
定义
对于微分方程
:\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x}), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n
若\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=0对任意t都成立，则称\tilde{\mathbf{x}}为此微分方程的平衡点。
类似地，对于差分方程
:\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k), \mathbf{x}\in \mathbb{R}^n
若\mathbf{f}(k,\tilde{\mathbf{x}})=\tilde{\mathbf{x}}对k=0,1,2,\ldots都成立，则称\tilde{\mathbf{x}}为此差分方程的平衡点。
分类
微分方程可以被线性化为以下形式
:\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}\mathbf{x}
其中\mathbf{A}是\mathbf{f}(t,\mathbf{x})在平衡点\tilde{\mathbf{x}}处的雅可比矩阵。通过观察矩阵\mathbf{A}的特征值的符号，可以判断平衡点\tilde{\mathbf{x}}的稳定性。
若\mathbf{A}的所有的特征值的实部均不为0，则\tilde{\mathbf{x}}被称为双曲平衡点。若所有特征值的实部均为负值，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的实部为正值，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的实部为正，且至少有一个特征值的实部为负，则此平衡点是鞍点。
关于差分方程的平衡点也可作相似的分类。设\mathbf{G}是\mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k)在平衡点\tilde{\mathbf{x}}处的雅可比矩阵。
若\mathbf{A}的所有的特征值的模均不为1，则\tilde{\mathbf{x}}被称为双曲平衡点。若所有特征值的模均为小于1，则此平衡点是稳定点。若至少存在一个特征值的模大于1，则此平衡点是不稳定点。若至少有一个特征值的模大于1，且至少有一个特征值的模小于1，则此平衡点是鞍点。
参考文献
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