波波夫判據

波波夫判據（Popov criterion）是非線性控制以及穩定性理論中的穩定性判據，由所提出，是針對非線性特性滿足開區間條件（open-sector condition）之非線性系統的絕對穩定性。Popov準則只適用於非時變的非線性系統，而圓判據可以用在時變的非線性系統。

系統敘述
波波夫研討的，是Lur'e系統中的一子集合，可以用下式描述：

:
\begin{align}
\dot{x} & = Ax+bu \\
\dot{\xi} & = u \\
y & = cx+d\xi
\end{align}

\begin{matrix} u = -\varphi (y) \end{matrix}

其中x ∈ Rn、ξ,u,y是純量，A,b,c和d的維度相稱。非線性元件Φ: R → R是在開區間(0, ∞)內的非時變非線性元件，也就是說Φ(0) = 0，針對其他不為零的y值，yΦ(y) > 0 。

波波夫研究的系統在原點有個極點，沒有直接從輸入到輸出的路徑，其u到y的傳遞函數為

: H(s) = \frac{d}{s} + c(sI-A)^{-1}b

準則
若上述系統符合以下特性
#A 是赫尔维茨矩陣
#(A,b) 可控制
#(A,c) 可觀察
#d > 0 且
#Φ ∈ (0,∞)

則系統全域穩定的條件是存在一數r > 0，使得 \inf_{\omega\,\in\,\mathbb R} \operatorname{Re} \left[ (1+j\omega r) H(j\omega)\right] > 0.

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參考資料
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