在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 x_0 附近的軌跡均能維持在 x_0 附近，那么该系统可以称为在x_0處李雅普诺夫稳定。
若任何初始條件在 x_0 附近的軌跡最後都趨近x_0，那么该系统可以称为在x_0處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。
李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為結構穩定性，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。
历史
这一稳定性以俄国数学家亚历山大·李亚普诺夫命名，他在1892年发表了他的博士论文《运动稳定性的一般问题》，文中给出了稳定性的科学概念、研究方法和相关理论。李雅普诺夫考慮到針對非线性系统修改稳定理论，修正為以一個稳定点线性化的系統為基礎的线性稳定理论。他的作品最初以俄文发行，后翻译为法文，但多年来默默无闻。人们对它的兴趣突然在冷战初期（1953至1962年）开始，因当所谓的“李雅普诺夫第二方法”被认为适用于航空航天制导系统的稳定性，而这系统通常包含很强的非线性，其他方法并不适用。大量的相关出版物自那时起开始出现，并进入控制系统文献中。最近李雅普诺夫指数的概念（与李雅普诺夫稳定性第一种方法）引起了广泛兴趣，并与混沌理论结合了起来。
連續時間系統下的定義
给定一个完备的賦範向量空間（例如\mathbb{R}^n），设是的開子集。考慮一個自治的非线性动力系统：
::\dot{x} = f(x(t)), \;\;\;\; x(t_0) = x_0,
其中x(t) \in U 是系統的狀態向量，f: U \rightarrow E是上的连续函数。
假设函数有一个零点：0，则常数函数：是动力系统的驻定解（或称平衡解）。称是动力系统的平衡點。
称點李雅普诺夫稳定（简称稳定），如果對每個\epsilon > 0，均存在\delta = \delta(\epsilon) > 0，使得对所有满足\|x_0 - a\| 的x_0，只要t \geqslant t_0，就有\|x(t)-a\| 。
称點漸近稳定，如果點李雅普诺夫稳定，且存在\delta > 0，使得对所有满足 \|x_0 - a\| 的x_0，\lim_{t \rightarrow \infty}x(t) = a。
称點指數稳定，如果點漸近稳定，且存在 \alpha, \beta, \delta >0 使得对所有满足\|x_0 - a\| 的x_0，只要t \geqslant t_0，就有\|x(t) - a\| \leq \alpha\|x_0 - a\|e^{-\beta t}。
它们的直观几何意义是：
平衡點為李雅普诺夫稳定的，表示若动力系统状态函数（微分方程的解函数）的初值「足夠接近」平衡點，則它會永遠維持在平衡點附近任意小的范围里（距平衡點的距離不超過任意选择的正实数 \epsilon）。
漸近稳定的意思是，初值足夠接近平衡點的状态函数，不但維持在平衡點附近，而且最後會收敛到平衡點。
指數稳定的意思是，状态函数不但最後會收敛到平衡點，且收敛速度不慢於某种指数递减的速度。
设有状态函数，其初始取值为x(t_0) = x_0。称\bar{x} = \{ x(t); \; t \geqslant t_0 \}为的轨迹。如果對所有初始值与足够接近的状态函数，两者的轨迹会趋于相同：
::\lim_{t \to \infty}\|y(t)-x(t)\| \longrightarrow 0.
则称的轨迹有（局部）吸引性（attractive）。若上述條件對所有均成立，則称有全局吸引性（globally attractive）。
如果的轨迹有吸引性，并且穩定，则漸近稳定。不過，有吸引性不表示它的轨迹漸近稳定。
迭代系統下的定義
離散時間系統下穩定性的定義和連續時間系統下的定義幾乎相同。以下為其定義，不過使用的是較多數學書籍上使用的定義。
给定度量空間(X,d)。设f\colon X\to X為一連續函數。稱點 a \in X為李雅普诺夫稳定，如果對任意\epsilon>0，都存在\delta>0，使得只要x \in X满足 d(x,a)，就有
::\forall n\in \mathbb{N} , \; \; d(f^n(x),f^n(a))
稱點漸近穩定，如果是李雅普诺夫稳定的点，而且在稳定点集合的内部，即存在\delta>0，使得只要x \in X满足 d(x,a)，就有
::\lim_{n\to\infty} d(f^n(x),f^n(a))=0
李雅普诺夫穩定性理論
對於微分方程解之穩定性的研究稱為穩定性理論。而李雅普诺夫穩定性定理只提供了穩定性的充份條件。
李雅普诺夫穩定性第二定理
考慮一個函數 V(x) : Rn → R 使得
- V(x) \ge 0 只有在 x=0 處等號成立（正定函數）
- \dot{V}(x(t)) （負定）
則V(x)稱為李雅普诺夫候選函數（Lyapunov function candidate），且系統（依李雅普诺夫的觀點）為漸近穩定。
上式中 V(0)=0 是必要的條件。否則，V(x) = 1/(1+|x|)可以用來「證明」 \dot x(t) = x有區域性穩定。另一個稱為徑向無界性（radial unboundedness）的條件則是用來得到全域漸近穩定的結果。
此種分析方式可類比為考慮一物理系統（如彈簧及質量的系統）及其中的能量。若系統能量隨時間遞減，且減少的能量不會恢復，而此系統最後一定會靜止於某個特定的狀態。最後的狀態稱為吸引子。不過針對一個物理系統，找到表達其精確能量的函數不一定容易，而且針對抽象數學系統、經濟系統或生物系統，上述能量的概念又不一定適用。
利用李雅普诺夫的分析方式，可在不知道系統實際能量的情形下，證明系統的穩定性。不過前提是可以找到滿足上述限制的李雅普诺夫函數。
例如考慮以下的系統
:\dot{x} = -x^3 \,
希望用李雅普诺夫函數來確認x = 0 \,附近的穩定性。令
:V(x) = 0.5 x^2 \,
V(x)本身為正定函數．而V(x)的導函數如下
:\dot{V}(x(t)) = {\partial V \over \partial x}(-x^3) = -x^4 \,
為負定函數，因此上述系統在x = 0 \,附近為漸近穩定。
線性系統狀態空間模型的穩定性
一個線性的狀態空間模型
:\dot{\textbf{x}} = A\textbf{x}
為漸近穩定（其實是指數穩定），若
:A^{T}M + MA + N = 0
的解存在。
其中 N = N^{T} > 0 且 M = M^{T} > 0 （正定矩陣）。（對應的李雅普诺夫函數為V(x) = x^TMx）
有輸入值系統的穩定性
一個有輸入（或受控制）的系統可以下式表示
:\dot{\textbf{x}} = \textbf{f(x,u)}
其中輸入 u(t) 可視為控制、外部輸入、擾動、刺激或外力。這種系統的研究是控制理論研究的主題之一，也應用在控制工程中。
對於有輸入的系統，需量化輸入對系統穩定性的影響。在線性系統中會用BIBO穩定性來作分析的工具，在非線性系統中則會使用輸入-狀態穩定性。
相關條目
*李亞普諾夫函數
*摄动理论
*拉薩爾不變集原理
參考資料
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外部連結
- Lyapunov A.M. Stability of motion, Academic Press, New-York and London,1966
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