Kalman–Yakubovich–Popov引理

Kalman–Yakubovich–Popov引理（Kalman–Yakubovich–Popov lemma）是及控制理论的結果，其中提到：給定一數\gamma > 0，二個n維向量B, C，及n x n的赫維茲穩定矩陣 A（所有特徵值的實部都為負值），若(A,B)具有完全可控制性，則滿足下式的對稱矩陣P和向量Q
:A^T P + P A = -Q Q^T

: P B-C = \sqrt{\gamma}Q

存在的充份必要條件是
:
\gamma+2 Re[C^T (j\omega I-A)^{-1}B]\ge 0

而且，集合\{x: x^T P x = 0\}是(C,A)的不可觀測子空間。

此引理可以視為是穩定性理論李亞普諾夫方程的推廣。建構了由狀態空間A, B, C建構的线性矩阵不等式以及其頻域條件的關係。

Kalman–Popov–Yakubovich引理最早是在1962年由寫出且證明，當時列的是嚴格的頻率不等式。允許等於的不等式是由鲁道夫·卡尔曼在1963年提出。在該文中也建立了Lur'e方程可解性的關係。兩篇都是針對純量輸入系統。其控制維度的限制是在1964年被Gantmakher和Yakubovich放寬的，而也獨立得到相同結論。在中有針對此一主題的廣泛探討。

多變數Kalman–Yakubovich–Popov引理
給定A \in \R^{n \times n}, B \in \R^{n \times m}, M = M^T \in \R^{(n+m) \times (n+m)}，其中 \det(j\omega I - A) \ne 0針對所有\omega \in \R，且(A, B)有可控制性，則以下的敘述是等價的：

針對所有\omega \in \R \cup \{\infty\}
: \left[\begin{matrix} (j\omega I - A)^{-1}B \\ I \end{matrix}\right]^* M \left[\begin{matrix} (j\omega I - A)^{-1}B \\ I \end{matrix}\right] \le 0

存在一矩陣P \in \R^{n \times n}使得P = P^T且
:M + \left[\begin{matrix} A^T P + PA & PB \\ B^T P & 0 \end{matrix}\right] \le 0.

即使(A, B)不具有可控制性，對應上式的嚴格不等式仍成立。

參考資料