[[File:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|函数序列 fn(x) = (sin x)ⁿ 在区间 [0, π] 上的逐点收敛。图中连续的绿色曲线序列逐点趋于不连续的红色极限函数（在 π/2 处值为 1，其余为 0）。这证明了逐点收敛不一定保持函数的连续性。]]
逐點收歛也稱點態收斂（，或称简单收敛），是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分辨）。詳細點講，如果这組函数列在定義域中每点的取值都會趋于一个极限值，這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數，被趋近的这个極限函数称作這個函数序列的逐点极限。在各种收敛中，逐点收敛較容易了解跟想象，但未必能很好地保持函数的一些重要性质，比如说连续性等等。
定义
设 \{f_n\} 是一組有相同定义域的函数序列。序列 \{f_n\} 逐点收敛当且仅当存在函数 f，使得在定义域中的每點 x，都有：
:\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)
这时我们就说序列 \{f_n\} 逐点收敛到 f，或說函數 f 是序列 f_n 的逐點極限函數。在英文中也寫作：
:\lim_{n\rightarrow\infty}f_n=f\ \mbox{ pointwise},
性质
与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛（）。一致收歛的定义如下：
假設序列 (f_n) 中的函數跟函數 f 都有相同的定義域 I。定義函數序列 (f_n) 一致收敛到 f，若數列
a_n=\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in I \,\}
趨近於零，用符號表示就是：\lim_{n\to\infty} a_n=0，換句話講也就是：
:\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in I \;\}=0
兩相比較，一致收敛對於函數趨近的方式限制更大，所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛，反之则不然。一个简单的例子是函数序列 f_n:[0,1]\rightarrow[0,1]，讓 f_n(x) = x^n，則 (f_n) 逐点收敛到（不連續）函数
:f(x) =
\begin{cases}
0 & x\in [0,1) \\
1 & x=1
\end{cases},
但并不一致收敛到該函數，因為對每個 n，\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in [0,1] \,\} 皆為 1，所以
:\lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right|: x\in [0,1] \,\}=1\neq 0。
這說明了序列 (f_n) 並不一致收歛。
一致收敛能够保持函数序列的连续性，但逐点收敛不能。如上例， 序列 (f_n(x) = x^n) 都在闭区间 [0,1] 上连续，但是 (f_n) 逐点收敛到的函数 f 並不是连续函数。
逐點收歛不要求序列 (f_n) 中函数的取值一定是实数，也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小，比如如果函數序列 (f_n) 的對應域僅是拓樸空間，那可能一致收歛的定義並無意義，所以一致收歛的對應域一般在度量空间。因为一致收歛定義中表達趨近的部分我們（部分的）利用了距离的概念（絕對值就是距離的概念），在這定義中無法被其他概念取代，相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念，但可以用拓樸空間中的開集合來取代，。
拓扑性质
逐点收敛也可以理解为由半范数||f||_x=|f(x)|\,建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果f的定义域和值域都是紧致的，根据吉洪诺夫定理，这个空间也是紧致的。
测度论
在测度理论中，对一个可测空间上的可测函数有几乎处处收敛的概念，也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明，在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛，意味着在稍微较小的集合上一致收敛。
参见
- 一致收敛
- 拓扑空间
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