拓撲向量空間
拓撲向量空間是泛函分析研究中的一個基本結構。顧名思義就是要研究具有拓撲結構的向量空間。 拓撲向量空間主要都是函數空間，在上面定義的拓撲結構就是函數列收歛的條件。 希爾伯特空間及巴拿赫空間是典型的例子。 定義 獲得的。]] 一個拓撲向量空間 X 是佈於一個拓撲域 K （通常取實數或複數域）上的向量空間，其上帶有拓撲結構使得向量加法 X × X → X 與純量乘法 K × X → X 為連續映射。 註：某些作者也要求 X 是豪斯多夫空間，更…
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共 10 篇文章
逐點收斂
[[File:Drini-nonuniformconvergence.png|thumb|函数序列 fn(x) = (sin x)ⁿ 在区间 [0, π] 上的逐点收敛。图中连续的绿色曲线序列逐点趋于不连续的红色极限函数（在 π/2 处值为 1，其余为 0）。这证明了逐点收敛不一定保持函数的连续性。]] 逐點收歛也稱點態收斂（，或称简单收敛），是數學中描述一組函数序列向一个函数趋近的一種方式（函數趨近極限有其他不同方式，個中差異請小心分…
阿尔泽拉-阿斯科利定理
在数学中，阿尔泽拉-阿斯科利定理（）是泛函分析中的一个定理，给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一個充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。 等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利（於1883年－1884年） 和切萨雷·阿尔泽拉（於1882年－1883年）提出的。阿斯科利在1883年的论文中，证明了定理中，连续函数集为紧集的充分条件，而阿尔泽拉则在1…
緊緻收斂
在數學上，緊緻收斂（）或是稱作緊緻集上的均勻收斂（）是一種由均勻收斂的想法上推廣之後的收斂性質。這種收斂性質與緊緻開拓樸有相關。 定義 讓(X, \mathcal{T})是一個拓樸空間而且(Y,d_{Y})是一個賦距空間。一個函數列 f_{n} : X \to Y, n \in \mathbb{N} 被稱作緊緻收斂到函數f : X \to Y 如果說對所有在X的緊緻集合K 有 f_{n}|_{K} \to f|_{K} 均勻收斂。這也代…
支撑集
支撑集（，简称支集），是一个数学概念，它是集合X的一个子集，要求对给定的X上定义的实值函数f在这个子集上恰好非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在X \backslash C中为{0}，且不存在C的真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。 特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可…
一致收斂
均勻收斂，或稱-{zh-cn:均匀收敛; zh-tw:一致收斂}-，（），是數學中關於函數序列收斂的一種定義。其概念大致可想成：若函數序列 一致收斂至函數 ，代表對所有定義域中的點 ， 收斂至 會有（大致）相同的收斂速度。由於它對收斂要求較逐點收斂更強，故能保持一些重要的分析性質，例如連續性、黎曼可積性。 定義 當函數序列中的函數的對應域是 \R 或 \mathbb{C} 時，此時均勻收歛的定義為： 讓 (f_n)_{n \in \N}…
算子拓扑
泛函分析中，在巴拿赫空间X上有几种标准拓扑被赋予有界线性算子代数B(H)。 概述 令(T_n)_{n \in \mathbb N}为巴拿赫空间X上的线性算子序列。考虑这样的陈述：(T_n)_{n \in \N}收敛到X上某算子T，这可能有歧义： 若\|T_n - T\| \to 0，即T_n - T的算子范数（\| T_n x - T x \|_X的上确界，其中x在X中的单位球面上）收敛到0，就称T_n \to T在一致算子拓扑中。 \…
紧致开拓扑
在数学中，紧致开拓扑是定义在两个拓扑空间之间的所有连续映射的集合上的一种拓扑。紧致开拓扑是函数空间上的常用拓扑之一，在同伦理论和泛函分析中有应用。 定义 设 X、Y 为两个拓扑空间，令C(X, Y) 为所有从X 射到 Y 上的连续映射的集合。对于X 中的一个紧集K 和 Y 中的一个开集U，设V(K, U) 为集合 C(X, Y)中所有使得f(K)属于 U 的映射的集合。所有的V(K, U) 构成紧致开拓扑的一个子基（但一般不构成C(X,…
正规族
在数学中，特别是应用于复分析，一个正规族（）是连续函数的一个预紧族。非正式地讲，这意味着这一族中的函数不能扩展得太广；它们以一种相对“紧致”地方式集中在一起。理解函数空间中的紧子集是有广泛意义的，因为它们通常自然是无穷维的。 更正式地，定义在某个完备度量空间 X 上取值于另一个完备度量空间 Y 的连续函数 f 的一个集合（有时称为族） F 称为正规的，如果 F 中每个函数序列包含一个子序列紧收敛到一个从 X 到 Y 的连续函数。 复分析…
函数空间
在数学中，函数空间是从集合X到集合Y的给定种类的函数的集合。它叫做空间是因为在很多应用中，它是拓扑空间或向量空间或这二者。 例子 函数空间出现在数学的各个领域中： 在集合论中，集合X的幂集同一于从X到{0,1}的所有函数的集合；指示为2X。更一般的说，函数X → Y的集合指示为Y*X。 在线性代数中，从在同一个域上的向量空间V到另一个向量空间W的所有线性变换的集合自身是个向量空间。 在泛函分析中，对于包括如上向量空间上的拓扑的连续线性变…