支撑集

支撑集（，简称支集），是一个数学概念，它是集合X的一个子集，要求对给定的X上定义的实值函数f在这个子集上恰好非0。最常见的情形是，X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数f在此拓扑下连续。此时，f的支撑集被定义为这样一个闭集C：f在X \backslash C中为{0}，且不存在C的真闭子集也满足这个条件，即，C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。

特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。

闭支撑
常见的情况出现为：X是一个拓扑空间（例如实轴或n维欧几里得空间），并且f : X \to \R是连续的实值函数（或复值函数）。此时，f的支撑在拓扑上定义为使得f非零的X子集的闭包，即：

\operatorname{supp}(f) := \operatorname{cl}_X\left(\{x \in X \,:\, f(x) \neq 0 \}\right) = \overline{f^{-1}\left(\{ 0 \}^{c}\right)}.

由于闭集的交集也是闭集，所以\operatorname{supp}(f)是集合论中所有包含f支撑的闭集的交集。

例如，f : \R \to \R定义如下：

f(x) = \begin{cases} 1 - x^2 & \text{if } |x|

f的支撑是闭区间[-1, 1]，因为f在开区间(-1, 1)非零，其闭包为[-1, 1]。

闭支撑的概念通常用于描述连续函数，但该定义对拓扑空间上的任意实值或复值函数都有意义，有些作者不要求 f : X \to \R（或 f : X \to \Complex不需要）连续。

紧支撑
如果某函数的支撑集是 X 中的一个紧集，此函数被称为是紧支撑於空间 X 的。例如，若 X 是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为0的一个特例。在好的情形下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的 \epsilon > 0，一个定义在实数轴 X 上的函数 f 在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集 C 来描述：

:|f(x) - 1_C(x)f(x)|

其中 1_C(x) 表示 C 的指示函数。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的 \delta(x)。此时，我们考虑一个测试函数 F，并且 F 是光滑的，其支撑集不包括 0。由于 \delta(F) （即 \delta 作用于 F）为 0，所以我们说 \delta 的支撑集为 \{0\}。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。
奇支集
在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是1/x，但这在x = 0时是不成立的。所以很明显地，x = 0是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是\{0\}，即对于一个支撑集包括0的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

支撑族
支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。X的一组闭子集\Phi是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是\Phi的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何Y \in \Phi，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些Z \in Pi是一个邻域。如果X是一个局部紧空间，并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。
参考文献