条件收敛

条件收敛（英语：Conditionally Convergent）是数学中无穷级数和广义积分的一种性质。收敛但不绝对收敛的无穷级数或广义积分称为条件收敛的。一个积分条件收敛的函数也称为条件可积函数。

详细定义
条件收敛的级数
给定一个实数项无穷级数A = \sum_{n} a_n，如果它自身收敛于一个定值C \in \mathbb{R}：
: \sum_{n=1}^\infty a_n = C,
但由每一项的绝对值构成的正项级数：A_s = \sum_{n} | a_n |不收敛：
: \sum_{n=1}^\infty | a_n | = \infty ,
那么就称这个无穷级数A = \sum_{n} a_n是一个条件收敛的无穷级数。

条件收敛的广义积分
给定一个在区间[a, \infty)上有定义的函数f(x)，如果f(x)在任意的闭区间[a, b]上都可积，并且广义积分：
:\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \int_{a}^b f(x) \mathrm{d}x
收敛，而函数绝对值的广义积分：
:\int_{a}^{+\infty} |f(x)| \mathrm{d}x = \lim_{b\to +\infty} \int_{a}^b |f(x)| \mathrm{d}x
发散，那么就称广义积分\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d}x条件收敛。

例子
无穷级数
常见的条件收敛的无穷级数包括交错调和级数：
:A_{h} = 1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots = \sum_{n} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
它收敛到定值：\ln 2，而对应的由每项的绝对值构成的正项函数：H = \sum_n \bigg| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \bigg| = \sum_{n}\frac{1}{n}叫做调和级数，是发散的。
:\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty.

广义积分
条件收敛的广义积分的一个例子是函数：\frac{\sin x}{x}在正实数轴上的积分：
:I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x
任取实数a > 1，运用分部积分法可以得到：
:\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \cos 1 - \frac{\cos a}{a} - \int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x
而对任意的正实数A, B > 1：
:\Bigg | \int_{A}^{B} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x \Bigg | \leqslant \int_{A}^{B} \frac{x^2} \mathrm{d}x \leqslant \int_{A}^{B} \frac{1 }{x^2} \mathrm{d}x \leqslant \frac{1}{A}
由柯西收敛原理可知广义积分\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x 收敛，所以
:\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x = \lim_{a\to +\infty}\int_{1}^{a} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x =\cos 1 - \lim_{a\to +\infty} \frac{\cos a}{a} - \lim_{a\to +\infty}\int_{1}^{a} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x
= \cos 1 - \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^2} \mathrm{d}x

即积分：I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x 收敛。但是，绝对值函数的积分：I_s = \int_{1}^{+\infty} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x 不收敛。这是因为对任意自然数k，积分：
:I_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x \geqslant \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{(k+1)\pi} \mathrm{d}x = \frac{2}{(k+1)\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot \frac{1}{k+1}
所以
:I_s = \int_{1}^{+\infty} \bigg|\frac{\sin x}{x} \bigg| \mathrm{d}x \geqslant \sum_{k=1}^{+\infty} I_k \geqslant \frac{2}{\pi}\cdot \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k+1} = +\infty
因此，积分I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d}x 是条件收敛的。

相关定理
*黎曼级数定理：假设\sum_{n=1}^\infty a_n是一个条件收敛的无穷级数。对任意的一个实数C，都存在一种从自然数集合到自然数集合的排列\sigma : \, \, n \mapsto \sigma (n)，使得
:\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = C.
此外，也存在另一种排列\sigma' : \, \, n \mapsto \sigma' (n)，使得
:\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma' (n)} = \infty.
类似地，也可以有办法使它的部分和趋于-\infty，或没有任何极限。

反之，如果级数是绝对收敛的，那么无论怎样重排，它仍然会收敛到同一个值，也就是级数的和。

参见
*无条件收敛
*绝对收敛

参考来源