测度收敛是测度论中的一个基本概念，在概率论、泛函分析及数理统计等领域中具有重要应用。设在某一可测空间上给定一个测度 \mu，并考虑一列定义在同一空间上的测度 \mu_n 。随着 n 的增大， \mu_n 的性质与 \mu 越来越相似。 “越来越相似”和一般的序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差 \varepsilon>0 ，只要 N 充分大， 对于任何 n \geqslant N ， \mu_n 和 \mu 之间的“差别”小于 \varepsilon 。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些收敛方式之间一般并不等价，其强弱关系也各不相同。
测度的总变差收敛
测度的强收敛
测度的弱收敛
在数学和统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 *弱收敛**)是 测度论中广泛应用的一种收敛。
下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.
定义 S 为拥有 Borel σ-代数 \Sigma的 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度 P_n , n=1,2,... 弱收敛于概率测度 P ,（记为
:P_n\Rightarrow P）
如果下面任何一条条件得到满足 ( E_n 为关于概率 \mu 的数学期望，E 为关于概率 P 的数学期望):
- E_nf\rightarrow Ef 对于任何有界连续的函数 f,
- E_nf\rightarrow Ef 对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数 f ,
- \limsup E_nf \geqslant Ef 对于任何有上界的 上半连续 的函数 f ,
- \liminf E_nf \geqslant Ef 对于任何有下界的 下半连续 的函数 f ,
- \limsup P_n(C) \geqslant P(C) 对于任何空间S中的闭集 C ;
- \liminf P_n(U) \geqslant P(U) 对于任何空间S中的开集 U ;
- \lim P_n(A) \geqslant P(A) 对于任何关于概率P连续的集合A .
參考來源
参考文献
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