斯通—魏爾施特拉斯逼近定理 (Stone-Weierstrass Theorem) 是一個分析學上的定理，其描述了在緊緻豪斯多夫空間(X, \tau)上的實數連續函數C(X, \mathbb{R})能夠被較小的函數集逼近的條件。
定義
對於緊緻豪斯多夫空間 (X, \tau)以及\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})，我們定義
- \mathcal{A}是一個代數 (algebra) 如果\mathcal{A}是一個實數子空間，並且對於所有f,g\in \mathcal{A}，fg\in \mathcal{A}。
- \mathcal{A}分離相異點(separates points)如果對於所有相異x,y\in X，存在 f\in C(X, \mathbb{R})使得f(x)\neq f(y)。
- \mathcal{A}是一個晶格 (lattice) 如果對於所有f,g\in \mathcal{A}，\min(f,g),\max(f.g)\in \mathcal{A}。
敘述
對於緊緻豪斯多夫空間 (X, \tau)以及分離相異點的閉子代數\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{R})，那麼\mathcal{A}是以下兩個情況之一：
\mathcal{A}=C(X, \mathbb{R})；
存在一個x_0\in X使得\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb{R}): g(x_0)=0\}。
且(1)若且唯若1\in \mathcal{A}；(2)若且唯若存在x_0\in X使得對於所有g\in \mathcal{A}g(x_0)=0。
注意：由於\mathcal{A}分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的x_0是唯一的。
證明
引理Ａ：如果將\mathbb{R}^2視為一個實數向量空間，且兩向量間乘法定義為(x_1, y_1)\cdot (x_2, y_2)\mapsto (x_1x_2, y_1y_2)，那麼\mathbb{R}^2是個代數。且所有子代數只能是以下幾個情況：
\mathbb{R}^2；
\{(0,0)\}；
v的線性生成空間，其中v=(1,0), (0,1), (1,1)。
證明：顯然，(1), (2)跟(3)都是子代數。如果\mathcal{A}\subseteq \mathbb{R}^2是一個子代數，那麼因為\mathcal{A}是一個子空間。那麼如果\dim(\mathcal{A})=0, 2，對應到(1), (2)。如果\dim(\mathcal{A})=1，那麼存在一個非零向量v=(a,b)使得\mathcal{A}=\text{span}(v)。那麼因為\mathcal{A}是一個代數，存在\lambda\in\mathbb{R}使得a^2=\lambda a, b^2=\lambda b。所以a(\lambda-a)=0, b(\lambda -b)=0 。如果a\neq 0, b\neq 0，那麼a=b=\lambda，對應到(3)中v=(1,1)的情況；如果a, b其一非零，則對應到(3)中v=(0,1), (1,0)的情況。\square
引理B：對於豪斯多夫空間X和分離相異點的子代數\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})，以及相異點x,y\in X，定義\mathcal{A}_{xy}=\{(g(x), g(y)): g\in \mathcal A\}。那麼只能是以下兩個情況：
對於所有相異x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\mathbb R^2。
存在一組相異x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}。
另外，(2)等價於存在一個x_0\in X使得對於所有g\in \mathcal{A}，g(x_0)=0。
注意：由於\mathcal{A}分離相異點，在(2)的等價(不論哪個方向)中的x_0是唯一的。證明：顯然，對於所有相異x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}是一個子代數。根據引理A，只需要證明對於所有相異x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}不可能是\text{span}\{(1,1)\}, \text{span}\{(0,0)\}，但這顯然成立，因為\mathcal{A}分離相異點以及。
接著證明(2)的等價：如果存在一組相異x,y\in X,\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}，那麼根據\mathcal{A}_{xy}的定義，存在一個x_0\in X使得對於所有g\in \mathcal{A}，g(x_0)=0。相反地，如果存在一個x_0\in X使得對於所有g\in \mathcal{A}，g(x_0)=0，那麼對於所有相異於x_0的y\in X，我們有\mathcal{A}_{{x_0} y}=\text{span}\{(0,1)\}。\square
引理C：對於任意\epsilon>0，存在一個實多項式P使得P(0)=0，且對於所有x\in [-1,1]，||x|-P(x)|。證明：令P_0\equiv 0，P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac{x^2-P_n^2(x)}{2}。那麼根據數學歸納法可以證明：
對於所有x\in [-1,1]，0\leq P_{n}(x)\leq P_{n+1}(x)\leq |x| 。
對於所有x\in [-1,1]，||x|-P_n(x)|\leq |x|\left(1-\frac{2}\right)^{n}。
因為|x|\left(1-\frac{2}\right)^{n}\leq \frac{1}{n+1}，得證。\square
引理D：對於緊緻豪斯多夫空間X和閉子代數\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})，如果g\in \mathcal{A}，那麼|g|\in \mathcal{A}，且\mathcal{A}是一個晶格。證明：對於非零函數g\in \mathcal{A}，令h=\frac{g}{\lVert g\rVert_{\infty, X}}，其中\lVert\cdot\rVert_{\infty, X}是在X上的無窮範數。那麼因為-1\leq h\leq 1根據引理C，存在一個存在一個實多項式P使得P(0)=0，且對於所有x\in X，有||h(x)|-P(h(x))|。因為P(0)=0，所以P(h(x))\in \mathcal{A}。因為\epsilon>0是任意的，所以|h|\in \mathcal{A}\implies |g|=\lVert g\rVert_{\infty, X}|h|\in \mathcal{A} 。對於任意f_1, f_2\in \mathcal{A}, \max(f_1, f_2)=\frac{|f_1-f_2|+(f_1+f_2)}{2}\in \mathcal{A}, \min(f_1, f_2)=-\max(-f_1, -f_2)\in \mathcal{A}。
\square
引理E：對於緊緻豪斯多夫空間X和閉晶格\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb{R})，如果f\in C(X, \mathbb R)，且對於所有x,y\in X，存在g_{xy}\in \mathcal{A}使得g_{xy}(x)=f(x), g_{xy}(y)=f(y)，那麼f\in \mathcal{A}。證明： 給定\epsilon>0，對於所有x,y\in X，令U_{xy}=\{z\in X: f(z)g_{xy}(z)-\epsilon\}。那麼根據條件，對於所有x,y\in X，x,y\in U_{xy}\cap V_{xy}。於是對於任意y\in X，{\left\{U_{xy}\right\}}_{x\in X}是一個X的開覆蓋。因此存在n_y\in\mathbb{N}使得X=\bigcup_{j=1}^{n_y}U_{x_j y}。注意到這等價於對所有z\in X，存在一個j=1,\cdots, n_y使得f(z)。於是，如果令g_y(z)=\max_{j=1,\cdots, n_y}g_{x_{j}y}(z)，那麼對於所有z\in X,f(z)且對於所有z\in \bigcap_{j=1}^{n_y}V_{{x_j}y},f(z)>g_y(z)-\epsilon。令V_y=\bigcap_{j=1}^{n_y}V_{x_j y}，那麼因為\left\{V_y \right\}_{y\in X}是是一個X的開覆蓋。存在y_1,\cdots,y_m\in X使得X=\bigcup_{k=1}^m V_{y_k}。令g=\min_{k=1,\cdots,m}g_。於是\lVert f-g\rVert_{\infty, X}。因為\mathcal{A}是個閉晶格，g\in \mathcal{A}\implies f\in \mathcal{A}。\square
定理證明：
我們宣稱以下等價：
對於所有相異x,y\in X，\mathcal{A}_{xy}=\mathbb{R}^2，其中\mathcal{A}_{xy}如引理B中所述；
1\in \mathcal{A}；
\mathcal{A}=C(X, \mathbb R)。
顯然，我們有(3)\implies (2)。假設(2)成立，那麼\mathcal{A}_{xy}就不可能是\text{span}\{(0,1)\}, \text{span}\{(1,0)\}。所以根據引理Ｂ，(1) 成立。假設(1)成立，那麼給定任意f\in C(X, \mathbb{R})以及相異x,y\in X，有(f(x), f(y))\in \mathbb{R}^2=\mathcal{A}_{xy}，所以存在g_{xy}\in \mathcal{A}使得(f(x), f(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))。另外，對於x\in X，根據引理B中(2)的等價，存在g_x\in \mathcal{A}使得對於g_x(x)\neq 0。因此f(x)=\widetilde{g}(x)，其中\widetilde{g}:=\frac{f(x)}{g_x(x)}g_x\in \mathcal{A}。於是，根據引理D以及引理E，f\in \mathcal{A}。因為f\in C(X, \mathbb R)是任意的，(3)成立。
類似地，我們宣稱以下等價：
存在相異x,y\in X，\mathcal{A}_{xy}=\text{span}{(0,1)}, \text{span}{(1,0)}，其中\mathcal{A}_{xy}如引理B中所述；
存在x_0\in X使得對於所有g\in \mathcal{A}, g(x_0)=0；
存在x_0\in X使得\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb R):g(x_0)=0\}。
(1)\iff (2)已由引理B給出且(3)\implies(2)顯然。因此，僅須證明(2)\implies (3)。假設(2)成立，那麼顯然有\mathcal{A}\subseteq\{g\in C(X, \mathbb R):g(x_0)=0\}。注意到因為\mathcal{A}分離相異點，該x_0唯一。 給定g\in C(X, \mathbb R)且g(x_0)=0。給定相異x, y\in X，如果x, y\neq x_0，那麼根據引理B (的證明)，\mathcal{A}_{xy}=\mathbb R^2，所以存在g_{xy}\in \mathcal{A}使得(g(x), g(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))。如果x,y其一為x_0，那麼根據x_0的唯一性，\mathcal{A}_{xy}=\text{span}\{(1,0)\}, \text{span}\{(0,1)\}，因此一樣有g_{xy}\in \mathcal{A}使得(g(x), g(y))=(g_{xy}(x), g_{xy}(y))。
給定任意x\in X，如果x=x_0，那麼g(x_0)=0(x_0)，其中0\in \mathcal{A}指零函數。如果x\neq x_0，那麼根據x_0的唯一性，存在g_x\in \mathcal{A}使得g_x(x)\neq 0，因此g(x)=\widetilde{g}(x)，其中\widetilde{g}:=\frac{g(x)}{g_x(x)}g_x\in \mathcal{A}。於是，根據引理D以及引理E，f\in \mathcal{A}。因為f\in C(X, \mathbb R)是任意的，(3)成立。
非緊緻空間
根據亞歷山德羅夫緊化(Alexandroff's extension)，可以延伸到非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間中，敘述如下：敘述：給定一個非緊緻的局部緊緻豪斯多夫空間X以及在X在無窮遠處消失(vanishes at infinity)的實連續函數集C_0(X, \mathbb{R}) (也就是說，對於任意\epsilon>0，\{x\in X: |f(x)|\geq \epsilon\}是一個緊緻集)。如果\mathcal{A}\subseteq C_0(X, \mathbb R)使一個分離相異點的閉子代數，那麼\mathcal{A}是以下兩個情況之一：
\mathcal{A}=C_0(X, \mathbb{R})；
存在一個x_0\in X使得\mathcal{A}=\{g\in C_{0}(X, \mathbb{R}): g(x_0)=0\}。
複數域
在複數域中，包含常數函數1的閉子代數\mathcal{A}\subseteq C(X, \mathbb C) 並不會都與C(X, \mathbb C)相等。不過如果\mathcal{A}對於共軛映射g\mapsto\bar{g}封閉，那麼有類似的結論：敘述：對於緊緻豪斯多夫空間 (X, \tau)以及分離相異點，且對共軛封閉的的閉子代數\mathcal{A}\subseteq C(X,\mathbb{C})，那麼\mathcal{A}是以下兩個情況之一：
\mathcal{A}=C(X, \mathbb{C})；
存在一個x_0\in X使得\mathcal{A}=\{g\in C(X, \mathbb{C}): g(x_0)=0\}。
參考資料
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