函數的平均可以粗略定義成函數在其定义域裡的平均。
一维空间
一维空间下，函數在區間裡的平均定義如下
\bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\,dx.
上述定義可以用以下方式論證：數字y_1, y_2, \dots, y_n的平均值\bar{y}可以定義如下n\bar{y} = y_1 + y_2 + \cdots + y_n。換句話說，\bar{y}是一個常數，相加n次後的和，會等於y_1, \dots, y_n和的數字。以此類推，函數在區間[a,b]內的平均值可以定義成\int_a^b\bar{f}\,dx = \int_a^bf(x)\,dx .
\bar{f}是一個常數，在區間[a,b]內积分的值會等於f(x)在區間[a,b]裡的積分。而常數\bar{f}的積分是
\int_a^b\bar{f}\,dx = \bar{f}x\bigr|_a^b = \bar{f}b - \bar{f}a = (b - a)\bar{f} .
均值定理
積分第一均值定理保證，若f在區間[a,b]內連續，則存在一點c \in (a, b)使得
\int_a^bf(x)\,dx = f(c)(b - a) .
也就是說，連續函數有一特性：其在一閉區間內的均值\bar{f}會出現在此區間裡的某一點：存在一點c，使得\bar{f} = f(c)。
多維
在多維變數下，在欧几里得空间中區域U的平均定義為
:\bar{f}=\frac{1}{\hbox{Vol}(U)}\int_U f \; dV
其中\hbox{Vol}(U)和dV是區域体积和（或是廣義的体积形式）。
非幾何的平均數
以上的平均可以擴展到函數的算术平均数，也可以擴展到以下型式的函數几何平均数：
:\exp\left(\frac{1}{\hbox{Vol}(U)}\int_U \log f\right).
更廣泛的說，上述兩種平均在测度和概率论中都扮演重要角色。在此背景下，簡森不等式為函數兩種平均值概念之間的關係提供準備的估計值。
函數也存在调和平均数和平方平均数（均方根）。
參考資料
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