海涅定理

海涅定理，得名于德国数学家爱德华·海涅，在数学分析中连接了函数极限和序列极限。该定理表明函数极限的存在性和值可被刻画为所有收敛到那个点的序列的极限。反过来，序列极限的条件也可以用来求取函数极限。因此，函数极限的很多性质可从对应的序列极限性质导出。

特别地，这个定理包括两部分：

*正面陈述：设 f 为一函数，令 a 为 f 定义域的极限点（聚点）。若 \lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L, 则对每一个收敛至 a 且对任意 n 都有 x_n\ne a 的序列 \left\{x_n\right\}，有序列 \left\{f\left(x_n\right)\right\} 收敛至 L；也就是 \lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L\implies\forall\left\{x_n\right\}\left(\left(x_n\to a\land x_n\ne a\right)\implies f\left(x_n\right)\to L\right).
*反面陈述：反过来，若每一个满足 x_n\to a 且对任意 n 皆有 x_n\ne a 的序列 \left\{x_n\right\}，对应的序列 \left\{f\left(x_n\right)\right\} 皆收敛至相同的 L，则 f 在 a 处的极限存在且等于 L；用符号表示为 \forall\left\{x_n\right\}\left(\left(x_n\to a\land x_n\ne a\right)\implies f\left(x_n\right)\to L\right)\implies\lim\limits_{x\to a}f\left(x\right)=L.

背景
在某些语境下，空间的拓扑结构可以方便地由极限点来定义。这通常通过明确“点在何时是序列的极限”来实现。然而，对于某些在某种意义上“过大”的空间，则还需进一步明确“点在何时是更一般的、以有向集为的点集（称为网()）的极限”。函数仅当其将序列的极限映射为序列的极限时，才是（海涅）连续的。在前一种情况下，保持极限也是充分条件；而在后一种情况下，函数可能保持所有序列的极限却仍不连续，此时保持网的极限才是充要条件。

具体来说，若函数f:X\to Y对任意X中收敛于x的序列\left\{x_n\right\}都有\left\{f\left(x_n\right)\right\}收敛于f\left(x\right)，则称该函数为**'的。因此，序列连续的函数“保序列极限”。连续函数皆序列连续。 若X是第一可数空间且可数选择公理成立，则反过来也成立：任意保序列极限的函数皆连续。特别是，若X是度量空间，序列连续性和连续性是等价的。对于非第一可数空间，序列连续性可能严格弱于连续性。（这两个性质等价的空间称为。） 这就促使了在一般拓扑空间中考虑网而不是序列。连续函数保网的极限，并且该性质刻画了连续函数。

正式陈述
考虑单变量实函数的情况：

{{math theorem|name=Theorem|note=海涅|style=|math_statement=函数f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}在x_0处连续当且仅当它在该点。}}

{{Math proof|title=Proof|proof=（充分性）假设f:A\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}在x_0处连续（\varepsilon-\delta意义上的）。令\left\{x_n\right\}为收敛于x_0的序列（这样的序列始终存在，例如对任意n\in\mathbb{N}都有x_n=x_0的序列）。由于f在x_0处连续，遂有 \forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\left(0 由\left\{x_n\right\}收敛于x_0，故对任意满足上述条件的\delta，皆可找到自然数\nu使得对任意n>\nu皆有\left|x_n-x_0\right| 结合(*)可得\forall\varepsilon>0\exists\nu\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}\left(n>\nu\implies\left|f\left(x_n\right)-f\left(x_0\right)\right|由序列极限定义，上式即\left\{f\left(x_n\right)\right\}收敛于f\left(x_0\right)，亦即f在x_0处序列连续。

（必要性）假设f在x_0处是序列连续的，且f在x_0处不连续，即\exists\varepsilon>0\forall\delta>0\exists x\left(0不妨取\delta=\frac{1}{n}，其中n为任意自然数，并令对应的点x_n:=x。这样就可以定义满足\exists\varepsilon>0\forall n\in\mathbb{N}\left(\left|x_n-x_0\right|的序列\left\{x_n\right\}。但根据该构造，x_n\to x_0时f\left(x_n\right)\to f\left(x_0\right)不成立，与假设中的序列连续性相矛盾。于是命题“若f在x_0处是序列连续的，则f在x_0处连续”成立。

证毕。}}

参考文献