拟连续函数

在数学中，拟连续函数（Quasi-continuous function）的概念类似于但弱于连续函数的概念。所有连续函数都是拟连续的，但反过来一般不成立。

定义
设 X 为拓扑空间。实值函数 f:X \rightarrow \mathbb{R} 在点 x \in X 处称为拟连续的，若对于任意 \epsilon > 0 和任意包含 x 的开邻域 U ，存在非空开集 G \subset U ，使得

|f(x) - f(y)|

注意在上述定义中，不要求 x \in G 。

特性

• 若 f: X \rightarrow \mathbb{R} 连续，则 f为拟连续。
• 若 f: X \rightarrow \mathbb{R} 连续且 g: X \rightarrow \mathbb{R} 拟连续，则 f+g 为拟连续。

例子
考虑函数 f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ，当 x \leq 0 时令 f(x) = 0 ，当 x > 0 时令 f(x) = 1 。显然 f 在除 x = 0 外处处连续，因此在除0外处处拟连续。在 x = 0 ，取任意以0为中心的开邻域 U ，存在开集 G \subset U 使得对所有 y 。于是对所有 |f(0) - f(y)| = 0 \; \forall y \in G，因此 f 在0处亦为拟连续。故该 f 处处拟连续。

相反，定义 g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} 为：当 x 为有理数时 g(x) = 0 ，当 x 为無理數时 g(x) = 1 。任一非空开集 G都包含某些点y_1, y_2使得|g(y_1) - g(y_2)| = 1，因此 g 在任何点都非拟连续。

参见
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参考