数列极限

数列極限（）為某些数列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。

定義
{{math theorem
|name=極限的定義
|math_statement=
取一复数數列 {\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}，若有一複數 z \in \C ，使得

:「对于任意的正实数 \epsilon > 0，存在自然数 n \in \N ，使得任意的自然数 i \in \N，只要 i > n，則 |z_i - z| 」

用正式的邏輯語言来表示即

:(\forall \epsilon > 0)(\exists n \in \N)(\forall i \in \N)
[\,(i > n) \Rightarrow (|z_i - z|

则称数列{\{z_i \in \C\}}_{i \in \N}收敛于 z（convergent to z ），並记作
:\lim _{i \to \infty} z_i = z
如果不存在這樣的複數 z \in \C，則稱 {\{z_i \in \C\}}_{i \in \N} 是發散的（divergent）。
}}

實數數列的極限
從上面的定義可以證明，對實數數列 \{z_i \in \R\}_{i \in \N} 來說，若
:\lim _{i \to \infty} z_i = z
則其極限 z 一定為实数 ，
^2}
這是矛盾的，所以根據反證法，\operatorname{Im}(z) = 0 ，即 z \in \R 。\Box
|}
基本性質
唯一性
{{Math theorem
|math_statement=
若數列 {\{z_i \in \C\}}_{i \in \N} 的極限存在，則極限是唯一的。
}}

有界性
{{Math theorem
| math_statement = 若複數數列\{x_i \in \C\}_{i \in \N}有極限，則存在正实数 M > 0 ，使得對所有的自然数 i \in \N 都有 |x_i| \le M。

（即 \{x_i \in \R\}_{i \in \N} 有極限則必為有界數列）
}}

根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個複數數列無界，則這個複數數列一定發散。」

注意有界數列不一定有極限，如數列 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ \frac{1 - (-1)^n}{2},\cdots 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，在假設可數版本的選擇公理成立的情況下，則可以證明此數列有極限。

保序性
{{Math theorem
|math_statement=
有實數數列 \{x_i \in \R\}_{i \in \N} 和 \{y_i \in \R\}_{i \in \N} ，若

:\lim _{n \to \infty} x_n=a
:\lim _{n \to \infty} y_n=b

則「a > b 」等價於「存在n \in \N 使任何 i \in \N 只要 i > n 就有 x_i > y_i」。
}}

四則運算定理
{{math theorem
|name=加減法定理
|math_statement=
有複數數列 \{x_i \in \C\}_{i \in \N} 和 \{y_i \in \C\}_{i \in \N} ，若
:\lim _{n \to \infty} x_n=a
:\lim _{n \to \infty} y_n=b
則
:\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= a \pm b
}}

{{math theorem
|name=乘法定理
|math_statement=
有複數數列 \{x_i \in \C\}_{i \in \N} 和 \{y_i \in \C\}_{i \in \N} ，若
:\lim _{n \to \infty} x_n=a
:\lim _{n \to \infty} y_n=b
則
:\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = a \cdot b
}}

{{math theorem
| name = 除法定理
| math_statement =
有實數數列{ \{ x_i \in \R \} }_{i \in \N} 滿足
:(1) \lim_{n\to\infty} x_n = a
:(2) a \neq 0
:(3) 存在正整數m \in \N 使任意正整數 j \in \N 只要 j > m 則x_j \neq 0
則
:\lim _{n \to \infty} \frac{1}{x_n} = \frac{1}{a}
}}
{2} > 0 存在 n \in \N 使任何 i \in \N 只要 i > n 就有
:a - \frac{2} (a)
根據實數系的三分律跟前提(2)，不是 a > 0 就是 a ；

先假設a > 0 ，那根據(a)有
:\frac{2}=\frac{a}{2} (b)
另一方面，若a ，同樣根據(a)有
: x_i (c)
所以綜合(b)(c)，可以結論
:「存在 n \in \N 使任何 i \in \N 只要 i > n 就有\frac{1} 」(d)
那對任意的\epsilon > 0 有 \frac \frac{x_i}{y_i} = x_i \cdot \frac{1}{y_i}的狀況取極限。

審斂法
其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

柯西數列
参考文献列表
參看

• 级数
• 函数极限