拉普拉斯逆变换

在数学中，函数F(s)的拉普拉斯逆变换是一个分段连续的实函数f(t)，满足如下性质：

: \mathcal{L}\{f\}(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s) = F(s),

其中，\mathcal{L}表示拉普拉斯变换。

可以证明：如果函数F(s)具有拉普拉斯逆变换f(t)，则f(t)唯一（考虑在勒贝格测度为零的点集上彼此不同的函数）。这个定理由马提亚·莱奇于1903年首先证明，因而称之为莱奇定理。

因其具有的许多性质，正反拉普拉斯变换在线性动态系统的分析中颇有可为。

梅林反演公式
拉普拉斯逆变换的积分形式，称为梅林反演公式（）、布罗米奇积分或傅里叶-梅林积分，由线积分定义：

: f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F(s)\}(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT}e^{st}F(s)\,ds

积分路径是复平面中的垂线Re(s) = \gamma，其中\gamma大于F(s)所有奇点的实部，且F(s)在积分路径上有界（例如积分路径位于F(s)收敛域内）。当所有奇点位于左半平面内，或F(s)是整函数时，可以将\gamma置零，此时上述积分退化为傅立叶逆变换。

在实践中，复积分的计算可以通过柯西留数定理完成。

珀斯特反演公式
拉普拉斯逆变换的微分形式，称为珀斯特反演公式（），以数学家埃米尔·珀斯特 (Emil Post)命名，是一个看似简便但并不常用的拉普拉斯逆变换计算公式。

公式表述如下：设f(t)为区间[0, +∞) 的指数阶函数，存在实数b ，使f(t)满足：

: \sup_{t>0} \frac{f(t)}{e^{bt}}

则对于任意s > b，f(t)的拉普拉斯变换均存在且对于s无限可微。设F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则f(t)可由下式定义：

: f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\}(t)
= \lim_{k \to \infty} \frac{(-1)^k}{k!} \left( \frac{k}{t} \right) ^{k+1} F^{(k)} \left( \frac{k}{t} \right)

其中t > 0，F^{(x )}是F对s的k阶导数。

分析公式可以看出，该方法需要计算函数F(s)的任意高阶导数，这在大多数应用场景下并不现实。

随着个人计算机的出现，该公式主要用于处理拉普拉斯逆变换的近似或渐近分析，及通过格伦瓦尔德-莱特尼科夫（Grünwald-Letnikov）微积分计算导数。

随着计算科学的进步，珀斯特反演公式引起了人们兴趣，由于其不需要F(s)的具体极点坐标，通过数次逆梅林变换，可能实现对黎曼猜想的渐近分析。

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