複分析（）是研究複變的函數，特別是亞純函數和複變解析函數的數學理論。
研究中常用的理论、公式以及方法包括柯西积分定理、柯西积分公式、留数定理、洛朗级数展开等。複變分析的应用领域较为广泛，在其它数学领域和物理学中也起着重要的作用。包括数论、应用数学、流体力学、热力学和电动力学。
复变函数
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複变函数，是自变量和因变量皆为複数的函数。更确切的说，複變函数的值域与定义域都是複數平面的子集。在複變分析中，自变量又称为函数的“宗量”。
对于複變函数，自变量和应变量可分成实部和虚部:
: z = x + iy\,
: w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\,
: 其中x,y \in \mathbb{R}\,和u(x,y), v(x,y)\,是实數函数。
用另一句话说，就是函数f(z)的成分,
: u = u(x,y)\,
: v = v(x,y),\,
可以理解成变量x和y的二元实函数。
全纯函数
全纯函数（）是定义在複數平面\mathbb{C}的开子集上的，在複數平面\mathbb{C}中取值的，在每点上皆可微的函数。
复变函数为全纯函数的充分必要条件是复变函数的实部和虚部同时满足柯西-黎曼方程：
:{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y }
和
:{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x } .
通过上面的这个方程组也可以由全纯函数的实部或者虚部之一来求解另一个。
柯西积分定理
柯西积分定理指出，如果全纯函数的封閉积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0；如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。
柯西积分公式
假设U是複數平面\mathbb{C}的一个开子集，f:U\rightarrow\mathbb{C}是一个在闭圆盘D上複可微的方程，
并且闭圆盘D=\left \{ z:\left \vert z-z_0 \right \vert \leq r\right \}是U的子集。 设C为D的边界。则可以推得每个在D内部的点a：
:f(a) = {1 \over 2\pi i} \oint_C {f(z) \over z-a}\, dz
其中的积分为逆时针方向沿着C的积分。
亚纯函数
在複變分析中，一个複數平面的开子集D上的亚纯函数是一个在D上除一个或若干个孤立点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点。
复变函数的级数展开
複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如：每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示：
::
f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n = a_0 + a_1 (z-z_0) + a_2 (z-z_0)^2 + a_3 (z-z_0)^3 + \cdots
。
特別地，全纯函數都是無限次可微的，性質對實可微函數而言普遍不成立。大部分初等函數（多項式、指數函數、三角函數）都是全纯函數。常用的方法有泰勒级数展开等。
洛朗级数
复变函数f(z)的洛朗级数，是幂级数的一种，它不仅包含了正数次数的项，也包含了负数次数的项。有时无法把函数表示为泰勒级数，但可以表示为洛朗级数。
:f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n
奇点的情况
对于复变函数的孤立奇点，有如下三类。
本质奇点
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在无穷个负幂项，那么这个点称为“本质奇点”。
对复平面C上的给定的开子集U，以及U中的一点a，亚纯函数f:U\setminus\left \{ a \right \}\rightarrow C在a处有本质奇点当且仅当它不是极点也不是可去奇点。
极点
复变函数在某孤立奇点邻域的洛朗级数展开，如果存在有限个负幂项，那么这个点称为“极点”。
注释及参考文献
参考书目
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