克喇末-克勒尼希關係式（）是數學上連結複面上半可析函數實部和虚部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉尔夫·克勒尼希和汉斯·克喇末為名。
公式定義
給定一複數變數\omega的複值函數{\chi(\omega)} = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)，其中\chi_1和\chi_2是實值函數。假設此函數\chi(\omega)在複數平面上半部可析，且當|\omega|趨向無限大时，它在上半平面趋于零的速度比1/|\omega|快或與之相等，那么\chi(\omega)满足以下關係：
:\chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'
和
:\chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P}\!\!\!\int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',
其中\mathcal{P}表示柯西主值。因此可析函數的實部和虚部并不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。
推導
推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數\chi(\omega^\prime)和實數\omega函數\frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega}在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：
:\oint \frac{\chi(\omega^\prime)}{\omega^\prime - \omega} d\omega^\prime = 0
選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和|\omega|成正比，因此只要\chi(\omega^\prime)消失比{1}/{\omega^\prime}快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：
:\oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' - i \pi \chi(\omega) = 0.
以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：
:\chi(\omega) = {1 \over i \pi} \mathcal{P} \!\!\!\int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'.
分母裡的虚數i意味者這是連系實部和虚部的公式。把\chi(\omega)分解成實部和虚部可輕易得到更早的公式。
物理理解
可以将Kramers-Kronig关系应用于响应函数理论。物理上，响应函数\chi(t - t^\prime)概括系統對在時間t^\prime的作用力F(t^\prime)在另一時間t的反應P(t)：
:P(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \chi(t - t^\prime) F(t^\prime) dt^\prime
因為系統不能在施力前有任何反應因此當t^\prime > t，\chi(t - t^\prime) = 0。
可以證明這因果關係意味着\chi(\tau)的傅立葉變換\chi(\omega)在\omega複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉换太快而系統不能即時做出反應，因此\omega很大時，\chi(\omega)會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數\chi(\omega)通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。
反應函數\chi(\omega)的虚部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。
上述函数的积分路径是从-\infty到\infty，其中出现了负频率。幸运的是，多数系统中，正频响应决定了负频响应，这是因为\chi(\omega)是实数变量\chi(t-t')的傅里叶变换，根据对实数进行傅里叶变换的性质，\chi(-\omega)=\chi^*(\omega)，\chi_1(\omega)是频率\omega的偶函数，而\chi_2(\omega)是\omega的奇函数。
根据该性质，积分可以从正负无穷区间约化为[0,\infty)的区间上。考虑实部\chi_1(\omega)的第一个关系，积分函数上下同乘\omega'+\omega可得：
:
\chi_1(\omega)=\frac{1}{\pi}\mathcal{P}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\omega'\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega' + \frac{\omega}{\pi} \mathcal{P}\mathcal\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.
由于\chi_2(\omega)为奇函数，第二项为零，剩下的部分为
:
\chi_1(\omega)=\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_{0}^{\infty}\frac{\omega'\chi_2(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.
类似的推导亦可用于虚部：
:
\chi_2(\omega)=-\frac{2}{\pi}\mathcal{P}\int_0^{\infty}\frac{\omega\chi_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega' = -\frac{2\omega}{\pi}\mathcal{P}\int_0^\infty\frac{\chi_1(\omega')}{\omega'^2-\omega^2}d\omega'.
该 Kramers-Kronig 关系在物理响应函数上的很有用处。
參考文献
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