主值

在数学領域（特別是複分析領域）中，多值函數的主值（）是指從函數的主分支選出，使其為單值函數的值。最簡易的例子是正數的平方根。4有兩個平方根：2和−2，其中將正根2視為主值，因此將此定義為\sqrt{4}。

以下主要會探討複變函數下的主值。
動機和目的
考慮複對數函數，定義為滿足下式的複數
:e^w = z.
假如想要找到，就要求解
:e^w = i
裡的w，i\pi/2是一個解。

不過，上式的解不唯一，考慮在复平面裡的位置，以及其輻角。若從1逆時針旋轉\pi/2弧度，可以到達，但若再旋轉2\pi弧度，又可以到達，因此i(\pi/2 + 2\pi) 也是的一個值。原來的解再加上2\pi的整數倍，都會是的值。

因此，所得到的結果和一般函數的概念不同：沒有一個確定的值，針對，可以得到:\log{z} = \ln + i\left(\mathrm{arg}\ z \right)
= \ln + i\left(\mathrm{Arg}\ z+2\pi k\right)
其中的是整數，而是的主輻角，定義在(-\pi,\ \pi]區間內。每個值都確定多值函數的一個分支。若考慮單一分支，有時會使用。此時移去函數定義域的非正實數，去掉\pi是個可行的作法。在此切割下，單分支的函數就是连续函数，在其定義域各處都可解析。

對應的分支即為主分支，在上面的值也就稱為主值。

一般情形
一般來說，若是多值函數，其主分支會寫成
:\mathrm{pv}\,f(z)
使在定義域內的，是單值函數。
複變函數的主值
複變函數在一些定義域下會是多值函數。可以將這些函數改為對應的主分支，即可變成單值函數，其值即為主值。
對數函數
前文中已經探討对数函數
:\log{z} = \ln + i\left(\mathrm{arg}\ z\right).
在其本質上就是多值函數。一般常會定義複數的輻角在-\pi和\pi之間，因此將此定義為輻角函數的主值，將此分支下的輻角函數用表示（第一個字母A大寫）。若是用輻角主值來代替輻角，可以得到對數函數的主值，可以寫成
:\mathrm{pv}\log{z} = \mathrm{Log}\,z = \ln + i\left(\mathrm{Arg}\,z\right).

方根
針對複數z = r e^{i \phi}\,，其平方根的主值為：

:\mathrm{pv}\sqrt{z} = \exp\left(\frac{\mathrm{pv}\log z}{2}\right) = \sqrt{r}\, e^{i \phi / 2}

其辐角範圍為-\pi 。有時會分割分支，使負實數不在方根函數的值域中，去除\phi = \pi的可能性。
反三角和反雙曲函數
複數的反三角函數（, , 等）和反雙曲函數（, , 等）可以用對數和其主值來定義。

複數的輻角
和atan2函數]]

複數之辐角的主值，若以弧度表示，有以下兩種定義：

• 在範圍[0, 2\pi)內的值
• 在範圍(-\pi, \pi]內的值

例如，許多電腦系統會有函數，的值會在(-\pi, \pi]區間內。與其相對的，的值會在(\tfrac{-\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]區間內。

參考資料