在概率论中，施拉姆-勒夫纳演变（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一个平面曲线的家族以及统计力学模型的缩放极限。
应用
- Uniform spanning tree,
*自避行走
*普遍性 (物理学)
- 施拉姆-勒夫纳进化描述临界渗流，临界易辛模型，自避行走的缩放极限
- 统计力学模型
- 因为SLE有马尔可夫性质，所以可以用伊藤微积分来分析一下
- 共形场论
勒夫纳演变
- D 是单连通的开集。D是复杂域，但是不等于C。
- γ 是D中的一条曲线。γ 在D 的边界开始。
- D_t = D - \gamma([0, t])
- 因为D_t是单连通的，它通过共形映射等于D（黎曼映射理论）。
- f : D_t \to D是同构。
- g(f(z)) = z是反函數。
- 在t = 0，f0(z) = z 和 g0(z) = z。
- ζ(t)是驱动函数（driving function），接受D边界上的值。
根据，是
: \frac{\partial f_t(z)}{\partial t} = -z f^\prime_t(z)\frac{\zeta(t)+z}{\zeta(t)-z}
: \dfrac{\partial g_t(z)}{\partial t} = g_t(z)\dfrac{\zeta(t)+g_t(z)}{\zeta(t)-g_t(z)}.
\zeta, \gamma的关系是
: f_t(\zeta(t)) = \gamma(t) \text{ 或 }\ \zeta(t) = g_t(\gamma(t))
施拉姆-勒夫纳演变
SL演变是一个勒夫纳方程，有下面的驱动函数
\zeta(t)=\sqrt{\kappa}B(t)
其中 B(t) 是D边界上的布朗运动。
例如
- 若0 ≤ κ ≤ 4，曲线γ(t)几乎必然是简单曲线
- 若4 6 是格子（正三角形鑲嵌）上的临界渗透的缩放极限，计算临界指数；证明渗流的共形不变性，Cardy方程
- κ = 8：path separating UST from dual tree
属性
若SLE描述共形场论，central charge c等于
: c = \frac{(8-3\kappa)(\kappa-6)}{2\kappa}.
表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。
用SLE6 证明的猜想：平面布朗运动边界的分形维数是4/3。
Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数是
: d = 1 + \frac{\kappa}{8}.
模拟
https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution
参考文献
阅读
- https://terrytao.wordpress.com/tag/schramm-loewner-evolution/ （陶哲轩介绍SLE）
- http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns017/Lawler/Lawler.pdf （Conformally invariant process in plane, by Lawler）
- http://pi.math.cornell.edu/~cpss/2011/lawler-notes.pdf（SCALING LIMITS AND THE SCHRAMM-LOEWNER EVOLUTION GREGORY F. LAWLER）
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- (Chapter 6 treats the classical theory of Loewner's equation)
- Schramm's original paper, introducing SLE
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