柯西-黎曼方程
复分析中的柯西-黎曼微分方程（），又称柯西-黎曼条件。是提供了可微函数在开集中為全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。 在一对实值函数 u(x, y) 和 v(x, y) 上的柯西-黎曼方程组包括两个方程： :(1a) { \partial u \over \pa…
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整函数
整函数（）是在整个复平面上全纯的函数。典型的例子有多项式函数、指数函数、以及它们的和、积及复合函数。每一个整函数都可以表示为处处收敛的幂级数。而对数函数和平方根都不是整函数。 整函数f(z)的阶可以用上极限定义如下： :\rho=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)}, 其中r是到0的距离，M(r)是\left|z\right| = r 时f(z)的最大绝对值。…
复平面
数学中，复平面（）是用水平的'与垂直的'建立起来的複數的几何表示。可视为一个具有特定代数结构笛卡儿平面（实平面），一个复数的实部用沿着 x-轴的位移表示，虚部用沿着 y-轴的位移表示。 复平面有时也叫做阿尔冈平面，因为它用于阿尔冈图中。这是以让-罗贝尔·阿尔冈（1768-1822）命名的，尽管它们最先是挪威-丹麦土地测量员和数学家卡斯帕尔·韦塞尔（1745-1818）叙述的。阿尔冈图经常用来标示复平面上函数的极点与零点的位置。 复平面的…
共形映射
数学上，共形变换（）或稱保角变换，來自於流体力学和几何学的概念，是一个保持角度不变的映射。 更正式的说，一个映射 :w = f(z) \, 称为在 z_0 \, 共形(或者保角)，如果它保持穿过 z_0 \, 的曲线间的定向角度，以及它们的取向也就是说方向。共形变换保持了角度以及无穷小物体的形状，但是不一定保持它们的尺寸。 共形的性质可以用坐标变换的导数矩阵雅可比矩阵的术语来表述。如果变换的雅可比矩阵处处都是一个标量乘以一个旋转矩阵，则…
黑塞二十七面體
{{Infobox polyhedron | name = 黑塞二十七面體 | polyhedron = 黑塞二十七面體 | imagename = Complex_polyhedron_3-3-3-3-3.png | caption = 投影到實二維空間的平行投影 | Type = 複正多面體 | Coxeter_diagram = | Face = 27 | FaceT = 27個3{3}3 | Edge = 72 | EdgeT …
单叶函数
单叶函数（）是數學領域中的複分析對函數的一種分類，若一全純函數的定義域為複數平面中的一開集，而函數為单射函數，此函數即為单叶函数。 若f為一全純函數，且滿足下式 :\forall x_1,x_2: x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2) 則f為单叶函数。 舉例 任何由開集单位圆盘映射到本身的映射\phi_a(z) =\frac{z-a}{1 - \bar{a}z}（其中|a|\le 1）為…
本质奇点
exp(1/z)的函數圖形，在z=0处具有本质奇点，不同的颜色表示辐角值，而亮度则表示绝对值。图像中显示出函数在本质奇点附近从不同方向逼近奇点时的行为。与极点附近全白不同，本质奇点附近是半黑半白的。]] 在复分析中，一个函数的本质奇点（Essential Singularity）又称本性奇点，是奇点中的“嚴謹”的一类。函数在本质奇点附近会有“极端”的行为。 粗略来说，对复平面 C 上的给定的开子集 U，以及 U 中的一点 a，亚纯函数 …
複多邊形
計為4{4}2，考克斯特符號計為或。值得注意的是它的頂點數與邊數不同，其由8條邊和16個頂點組成，在實空間代表幾何結構為超立方體]] 在幾何學中，複多邊形或複多角形（）是指位於\mathbb{C}^2複希爾伯特平面的多邊形。由於複空間中的多邊形未必會邊數與頂點數相同，因此複多邊形與複多角形不一定等價。較知名的複多邊形為莫比烏斯－坎特八邊形，是一種。 性質 複多邊形與實多邊形的不同在於，實多邊形的頂點座標由2個實數決定，而複多邊形的頂點座…
共軛複根
共軛複根，也稱共軛虛根，為一組成對的特殊根。共軛複根是指多項式或代數方程一類中，成對出現的根。如果非實複數z(b \ne 0)是實係數n次方程f(x)=0的根時，其共軛\overline{z}也是f(x)=0的根，且z和\overline{z}的重數相等，則稱z和\overline{z}是該方程的一對共軛複根。 共軛複根常出現於一元二次方程式，若使用公式法解得的根的判別式小於0，則該方程的根為一對共軛複根。 参见 共轭复数 一元二次方程…
正规族
在数学中，特别是应用于复分析，一个正规族（）是连续函数的一个预紧族。非正式地讲，这意味着这一族中的函数不能扩展得太广；它们以一种相对“紧致”地方式集中在一起。理解函数空间中的紧子集是有广泛意义的，因为它们通常自然是无穷维的。 更正式地，定义在某个完备度量空间 X 上取值于另一个完备度量空间 Y 的连续函数 f 的一个集合（有时称为族） F 称为正规的，如果 F 中每个函数序列包含一个子序列紧收敛到一个从 X 到 Y 的连续函数。 复分析…
孤立奇点
假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。 在亚纯函数中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具，例如洛朗展开、留数定理等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。 孤立奇点分为三种： 可去奇点 极点 本性奇点 例子 函数\frac{1}{z}在z=0处有孤立奇点。 余割函数\csc…
双周期函数
双周期函数是数学中对一类定义在复平面上的函数（复变量函数）的称呼，是在复平面的两个不同“方向”上都有周期性变化的函数。直观上可以理解为平面上“网格状”变化的函数。双周期函数是定义域为实数的周期函数在复变量函数中的推广。在复变量函数中，只有一个周期的函数称为单周期函数，如指数函数，周期是2。 定义 对一个定义域为复数域\mathbb{C}的函数来说，如果存在两个在实数域\mathbb{R}上线性独立（将复数域看作实数域上的2维向量空间）的…
广义圆
广义圆是近代几何中的一个概念，表示直线和圆的集合。广义圆的概念主要出现在反演几何里。圆和直线的反演有着相似的性质，因此在反演几何里可以将两者合并为一类，以方便研究。 平面上的反演几何假设平面是由普通的欧几里得平面和一个无穷远点组成。在反演几何中，直线的定义是欧几里得直线加上无穷远点，成为一个经过无穷远点，半径为无穷大的圆。 参考来源 R. A. 约翰逊，《近代欧氏几何学》，单墫 译. Hans Schwerdtfeger, Geomet…
幂级数
，红色曲线是指数函数的麦克劳林展开的前n+1项和的曲线]] 在数学中，幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个（见“多元幂级数”一节）。单变量的幂级数形式为： :f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n : = a_0 + a_1 (x-c)^1 + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots 其中的c和…
非孤立奇点
非孤立奇点是奇点的一种。P是奇点，若不存在任何一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不包含异于P的奇点（即P的任意有孔邻域中都包含奇点），则称P为非孤立奇点。 非孤立奇点分为两种： 聚点：孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点，那么尽管这些极点本身可以洛朗展开，但它们的极限，即该聚点，不能进行洛朗展开。 自然边界：任何非孤立点集（如：一条曲线），使得函数不能在它周围解析连续。（如果在黎曼球面上，则函数不能在它外面解析连续。） 例子 …
上半平面
上半平面（upper half-plane）H是一数学名詞，是指由虛部為正的复数組成的集合： :\mathbb{H} = \{x + iy \mid y > 0; x, y \in \mathbb{R} \}. 此詞語的由來是因為虛數x + iy常視為是在笛卡儿坐标系下，平面中的點(x,y)，若垂直方向為Y軸時，其上半平面對應X軸以上的區域，因此也對應y > 0區域的複數。 上半平面是許多複分析中重要函數的定義域，特別是模形式。y n，…
指数型
在复分析中，一个全纯函数被称为是指数型C的，如果存在实常数C使得当|z|→∞时，该函数的增长被限定于指数函数eC|z|。 基本思想 定义在复平面上的函数f(z)被称为是指数型的，如果存在实常数M和τ使得当r\to\infty时， :|f(re^{i\theta})|\le Me^{\tau r}。 这里，复变量z被特意写成z=re^{i\theta}的形式，以强调这个约束必须在所有方向θ上满足。若用τ表示所有满足条件的τ的下确界，我们就…
算子積展開
算子積展開（Operator Product Expansion, "OPE"）是共形場論的一種工具，用来计算局部算子的積（當其中兩個局部算子，[//en.wikipedia.org/wiki/local operators local operators]，靠近）的期望值。 在兩維共型場論，算子積展開的原則是，兩支局部算子 A_i(z_i), A_j(z_j)，若z_i\to z_j，这样 算子積（在真空期望值的層面上）可以给算子展開…