非孤立奇点

非孤立奇点是奇点的一种。P是奇点，若不存在任何一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不包含异于P的奇点（即P的任意有孔邻域中都包含奇点），则称P为非孤立奇点。

非孤立奇点分为两种：

• 聚点：孤立奇点的极限。如果这些孤立奇点是极点，那么尽管这些极点本身可以洛朗展开，但它们的极限，即该聚点，不能进行洛朗展开。
• 自然边界：任何非孤立点集（如：一条曲线），使得函数不能在它周围解析连续。（如果在黎曼球面上，则函数不能在它外面解析连续。）

例子

• 函数\tan\left(1/z\right)在\mathbb{C}\backslash\{0\}上是亚纯函数，只在z_n=\left(\frac{\pi}{2}+n\pi\right)^{-1}处有单极点，其中 n\in\mathbb{N}_0。但因为\lim_{n\rightarrow \infty}z_n\rightarrow 0，任意一个以原点为圆心的空心圆内，都有无限个单极点，所以\tan\left(1/z\right)在0附近没有洛朗展开。因此，0是函数\tan\left(1/z\right)的非孤立奇点。

• 函数\csc \left(\pi/z\right)在0处的奇点也是非孤立奇点，原因基本同上。

• 由麦克劳林级数定义的函数\sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}在以原点为圆心的开单位圆内（|z|）收敛。单位圆|z|=1是它的自然边界。

参见

• 孤立奇点

参考资料
外部链接
Isolated singularity#Nonisolated singularities