假设X是一个代数簇，P∈X是X上的一个奇点，如果存在一个包含P的开邻域（又称开集）U，使得U中不在包含其他的奇点， 那么就称P是孤立奇点。
在亚纯函数中，所有奇点都是孤立的；但如果一个函数的所有奇点都是孤立的，并不能保证它是亚纯函数。复分析中许多有用的工具，例如洛朗展开、留数定理等，都需要保证相关奇点的孤立性才能应用。
孤立奇点分为三种：
- 可去奇点
- 极点
- 本性奇点
例子
函数\frac{1}{z}在z=0处有孤立奇点。
余割函数\csc(\pi z)在所有整数点处有孤立奇点。
函数\exp(\frac{1}{z})在z=0处有孤立奇点，这是一个本质奇点。
复分析中孤立奇点与洛朗展开的关系
可去奇点、极点、本性奇点的定义
三种孤立奇点有许多等价定义，以下列出部分，用以说明与洛朗级数的关系。
#一个孤立奇点a被称作可去奇点，如果\lim_{z\rightarrow a} ；
#一个孤立奇点a被称作极点，如果\lim_{z\rightarrow a} = \infty；
#一个孤立奇点a被称作本性奇点（又译作本质奇点），如果极限\lim_{z\rightarrow a}不存在。
洛朗级数的主要部分
复函数f(z)在一个以点c为圆心的解析的环形区域D上可以展开成这样的级数形式
:f(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_n(z-c)^n
其中，a_n具有这样的形式：a_n=\frac{1}{2\pi i} \oint_\gamma \frac{f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}.\,。积分路径γ是一条逆时针方向的可求长曲线，把c包围起来，位于圆环A内。
此时，f(z)的洛朗展开式中，指数为负数的部分\sum_{n=-\infty}^{-1} a_n(z-c)^n称作f(z)的主要部分(principal part)。
可去奇点、极点、本性奇点与洛朗级数的主要部分的关系
以下可以看作可去奇点、极点、本性奇点又一等价定义。
#假设a是复函数f(z)的一个可去奇点，则f(z)在a处邻域内的洛朗级数展开式不含有主要部分。
#假设a是复函数f(z)的一个极点，则f(z)在a处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分仅含有有限项；且主要部分的项数恰等于极点a的阶数。
#假设a是复函数f(z)的一个本性奇点，则f(z)在a处邻域内的洛朗级数展开式的主要部分含有无穷多项。
证明
相关例子与应用
参见
- 非孤立奇点
外部链接
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