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色相環複變函數圖形

Wikipedia · 2025-11-25 维基百科 👁 1 阅读

上對應複數的色相環複變著色，上色方式是依據文字描述的第一種定義：零是黑色、-1為紅色、1是青色、無限大為白色]]
色相環複變函數圖形是一種複變函數圖形的呈現方式，是一種飽和度固定為最飽和，將色相表示函數值的輻角、明度表示函數值的絕對值來表達複變函數的定義域著色方法，這種方法又稱為色相環法（）。

歷史
使用色相環法的定義域著色早在1980年代末就已被拉里·柯榮（）和漢斯·隆達馬克（Hans Lundmark）首先使用。但與之相關的其他的複變函數繪圖直到1998年左右時由法蘭克·菲莉絲（）統整併統稱為定義域著色。

方法
。]]

這種函數圖形表示方有有兩種：

  • 一種原點是黑色、-1為紅色、1是青色、無限大為白色：

::\begin{align}
H & = \pi + \arg z, \\
L & = \left(1-2^{- \left| z \right|}\right) \times 100\%, \\
S & = 100\%.
\end{align}

  • 另一種原點是白色、1為紅色、-1是青色、無限大為黑色：

::\begin{align}
H & = \arg z, \\
L & = 2^{- \left| z \right|} \times 100\%, \\
S & = 100\%.
\end{align}

  • 另外也有類似第一種的上色方式：原點是黑色、1為紅色、-1是青色、無限大為白色：

::\begin{align}
H & = \arg z, \\
L & = \left(1-2^{- \left| z \right|}\right) \times 100\%, \\
S & = 100\%.
\end{align}
更確切地說，複數的輻角（角度）以色相來表示，而模量（絕對值）以HLS色彩模型（色調、亮度、飽和度）中的亮度來表示；對於給定的（H, L）數對，在這個模型中選擇最大飽和度值來呈現指定的複數。這幾種上色方式，最鮮豔的顏色以旋轉的方式出現在複數高斯平面的單位圓上，根據面兩種定義，1的六個六次方根（從1開始、逆時針）顏色分別為紅色、黃色、綠色、青藍、藍色和洋紅。此外，在這種配置上，兩個非常接近的複數其亮度值也會非常接近，若其輻角相同，則絕對值較大者，根據第一和最後一種定義，其顏色會較淺；根據第二種定義，其顏色會較深，反之亦然。

然而，HSL色彩空間在視覺上並不均勻，而導致在黃色、青色和品紅色表達的複數出現亮度差異的條紋，即使其絕對值與紅色、綠色和藍色相同條紋仍明顯可見，在單位圓上（L = \frac{1}{2}）附近也可以見到一圈明顯的暈圈。Lab等色彩空間更加接近人類感知，可以校正HSL的不均勻問題，使圖像視覺上更準確、更加柔和。

針對色相環複變函數圖形，為了使圖像具可比較性，數學函數數位圖書館(The Digital Library of Mathematical Functions, DLMF)對此定義了一套標準的色彩配置方式。

複數色彩空間
複數色彩空間是這種定義域著色方法的色彩空間，每個複數皆有對應唯一一種顏色，但是由於其定義上飽和度為定值，因此在這個色彩空間中並非所有色彩都能對應到一個複數。但這種色彩空間和HSL色彩空間一樣在視覺上有不均勻的缺點，因此數位圖書館有一套將標準色相環進行微調，其將單位為弧度的色相值以\left[ 0,2\pi\right) \to \left[ 0,4\right)映射到q，然後以公式換算：
:r = \ln{(a+\left| z \right|)}
:\mbox{H} = \arg{(z)}
:\mbox{S} = \frac{b+\sin{(2\pi r)}}{2}
:\mbox{V} = \frac{c+\cos{(2\pi r)}}{2}
其中r為絕對值取對數的結果，a、b、c是調整結果用的係數。

Image:Complex_coloring.jpg|f(x) = x
Image:Complex sin.jpg|正弦函數
Image:Complex tan.jpg|正切函數
Image:Complex gamma.jpg|伽瑪函數
Image:Complex log.jpg|自然對數
Image:Complex sqrt leaf1.jpg|平方根
Image:Sin x^-1 in range negative four fifths to four fifths.png|\sin{\frac{1}{x}}
Image:Sin x^-1 in range negative one tenths to one tenths.png|\sin{\frac{1}{x}}

參見

  • 定義域著色
  • 複變函數
  • 函數圖形

註解
參考文獻
外部連結

#复分析

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