不完全Γ函數

在数学中，上不完全Γ函数和下不完全Γ函数是 \Gamma函数的推广。它们的定义分别如下：
: \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\! \qquad \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,
\quad \Re(s)>0, x\in\mathbb R_0^+
通过解析延拓可以将定义域拓展到 C×C （除去可数个奇点外），详见下文。

记号
如无特别说明，在本文中，以 表示非负实数，以 表示任意复数。

基本性质
在上面定义的约束条件下，通过分部积分，可以计算得递归关系：
:\Gamma(s,x)= (s-1)\Gamma(s-1,x) + x^{s-1} e^{-x}
以及反过来：
: \gamma(s,x) =(s-1)\gamma(s-1,x) - x^{s-1} e^{-x}
因为正常的 \Gamma函数定义为：
: \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t
故有：
: \Gamma(s) = \Gamma(s,0)
以及

: \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).

解析延拓
下不完全伽玛函数
解析延拓的方法
在最原始的定义式中，积分是沿着实轴进行的，故要求在 (,) 中，
:z\in\mathbb R_0^+, \Re(s)>0
运用上一小节里面的关系式，可以用下式来进行解析延拓：
:\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s(s+1)\dots(s+k)} = z^s \, \Gamma(s) \, e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}

由比值审敛法可知，右边的级数的收敛半径是无穷大。

由魏尔斯特拉斯原理，下式中的函数，有时记作\gamma^*，是关于 和 的整函数。

:\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}

因此下面的分解式。

上不完全伽玛函数
解析延拓的方法
当 为正实数， 为实部大于 0 的复数时，有定义显然有：
:\Gamma(s,z)=\Gamma(s)-\gamma(s,z)
由于伽玛函数和下不完全伽玛函数关于 , 都至少是亚纯函数，上式可以自然地作解析延拓，并以此作为上不完全伽玛函数的定义。下不完全伽玛函数的多值性自然地导致上不完全伽玛函数的多值性，下面的讨论基于主分支。

进一步地，由黎曼可去奇点原理，由于等号右边在 取非正整数时的邻域内有界，故作为 的函数，非正整数是上不完全伽玛函数的可去奇点，可以通过对等号右边取极限来定义非正整数时上不完全伽玛函数的值。下面以 =0 为例来说明这种极限过程，其它情况可以类推得到。

事实上，在下不完全伽玛函数的积分表达式中，将指数函数用其泰勒展开式代换，得到：
:\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \operatorname{d}t = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!}\operatorname{d}t = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}

即有：
:\lim_{s\rightarrow0}\Gamma(s)-\frac1s=-\gamma

是欧拉-马歇罗尼常数。于是，可以定义
:\Gamma(0,z) = \lim_{s\rightarrow 0}\left[\Gamma(s) - \frac{1}{s} - \left(\gamma(s, z) - \frac{1}{s}\right)\right] = -\gamma-\ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}

这样就证明了 =0 的确是上不完全伽玛函数的可去奇点。

总结
上不完全伽玛函数的其它解析性质可以由下不完全伽玛函数和（完全）伽玛函数的解析性质得到。结果如下：

• 当 是正整数时，是 的整函数；
• 当 不是整数时，是 的多值全纯函数，=0 是其枝点；
• 选定单值分支后，对 ≠0，是 的整函数；
• 当 的实部大于零且 =0 时，等于（完全）伽玛函数 Γ()；

注意最后一条对一般的 并不成立。特别地，当 为负实数且不为整数时，Γ() 是实数，而 Γ(,0) 没有定义。

特殊值
:\Gamma(s,0)=\Gamma(s),\quad \Re(s)>0

下面一组关系式都能够由积分表达式直接得出，事实上，定义
:T(m,s,z) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)

则有：
:\frac{\partial \Gamma (s,z) }{\partial s} = \Gamma (s,z)\ln z + z\,T(3,s,z)
:\frac{\partial^2 \Gamma (s,z) }{\partial s^2} = \Gamma (s,z)\ln^2 z + 2 z[\ln z\,T(3,s,z) + T(4,s,z) ]

更一般地：
:\frac{\partial^m \Gamma (s,z) }{\partial s^m} = \Gamma (s,z)\ln^m z + m z\,\sum_{n=0}^{m-1} (m-1)_{n} \ln^{m-n-1} z\,T(3+n,s,z)

式中 (-1) 是下降阶乘幂的 Pochhammer 记号。

事实上
:
\int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} {\rm d}t= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t} {\rm d}t= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)

利用上式和 Mellin 变换的性质，并作解析延拓，就可以得到上不完全伽玛函数对参变量的高阶偏导数的表达式。

注
参考资料

• §6.5.

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• G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)

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• （见 8.35 章）

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参见
*Gamma函数

外部链接

• http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma2/ wolfram上关于上不完全 \Gamma函数的一些恒等式