单值性

的虚部。在\mathbb{C}\backslash \{0\}上定义复对数，会沿不同路径得到不同答案。这就产生了无限循环单值群，以及\mathbb{C}\backslash \{0\}的螺旋曲面（黎曼曲面之一）覆盖。]]

数学中，单值性（monodromy）研究的是数学分析、代数拓扑、代数几何与微分几何中的对象在“绕着奇点旋转”时的行为。这个领域同覆叠映射及其到分歧的退化密切相关。引发单值现象的方面是，我们想定义一个绕奇点旋转时不保持单值性的函数。可以定义单值群来测量单值性的失效，这是一群作用于数据的变换，编码了在单一维度上绕行时发生的情况。单值性的缺乏，有时称作多值性（polydromy）。

定义
令X是连通且底局部连通的拓扑空间，基点为x，并令p: \tilde{X} \to X为覆叠映射，其纤维为F = p^{-1}(x)。对以x为基的环圈\gamma:\ [0,\ 1]\to X，记从点\tilde{x} \in F开始的覆叠映射下的提升为\tilde{\gamma}。最后，用\tilde{x} \cdot \tilde{\gamma}表示端点\tilde{\gamma}(1)，一半与\tilde{x}不同。有定理指出，这种构造给出了基本群\pi_1(X,\ x)在F上的良定义的群作用，\tilde{x}的稳定子恰是p_\left(\pi_1\left(\tilde{X}, \tilde{x}\right)\right)，即当且仅当元素[\gamma]由\tilde{X}中以\tilde{x}为基的环圈的像表示时，才会固定F中的一个点。这种作用叫做单值作用，对应的群同态\pi_1(X,\ x)\to {\rm Aut}(H_(F_x))映射到F上的自同构群，就是代数单值性。这同态的像就是单值群。还有一个映射\pi_1(X,\ x)\to{\rm Diff}(F_x)/{\rm Is}(F_x)，其像是拓扑单值群。

例子
这些观点首次明确阐述是用复分析的语言。在解析延拓的过程中，在穿孔复平面\mathbb{C} \backslash \{0\}的某开子集E中的解析函数F(z)可连续映射回E，但值不同。例如，取

: \begin{align}
F(z) &= \log(z) \\
E &= \{z\in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)>0\}
\end{align}

然后逆时针绕圆

: |z| = 1

进行解析延拓，将导致返回的不是F(z)而是

: F(z) + 2\pi i

这时，单值群是无限循环群，覆叠空间是穿孔复平面的万有覆叠，可以形象理解为螺旋曲面，并有\rho>0的约束。覆叠映射是一个垂直投影，从某种意义上说显然地折叠了螺旋，得到穿孔平面。

复数域微分方程
一个重要应用是解微分方程，当中单解可通过解析延拓得到更多线性独立解。复平面中开连通集S上定义的线性微分方程拥有单值群，更精确地说是S基本群的线性表示，概括了S中所有环圈的解析延拓。在给定表示的情况下构造方程（具有正则奇点）的逆问题称作黎曼–希尔伯特问题。

对于正则（特别是富克斯）线性系统，常常选择与环圈相应的算子M_j作为单值群的生成子，当中每个环圈逆时针绕过系统的一个极点。若指标j在顺时针绕过极点时从1增加到p+1，则生成子之间的唯一关系是M_1\cdots M_{p+1}=\operatorname{id}。德利涅–辛普森问题是以下实现问题：对{\rm GL}(n,\ \mathbb{C})中的哪些共轭类元组，存在来自这些类的满足上式的矩阵M_j的不可约元组？皮埃尔·德利涅与卡洛斯·辛普森第一个得到了问题的解。Vladimir Kostov提出并讨论了富克斯系统残差问题的加性版本。除了{\rm GL}(n,\ \mathbb{C})外，其他学者也考虑过在矩阵群上的问题。

拓扑与几何角度
在覆叠映射的情形下，我们将其视为纤维化的特例，并利用同伦提升特性“追踪”基空间X上的路径（简单起见假定其是径连通的），因为它们可提升到覆叠C中。若沿着X中以x为基的环圈绕行，并将其提升到x上方的c处开始，则将在x上方的某个c处结束。c ≠ c*完全是可能的，为编码这种情况，可将基本群\pi_1(X,\ x)的作用视为所有c*的集合上的置换群，此时就是单值群。

微分几何中，平行移动起类似作用。在光滑流形M上的主丛B中，联络允许从M上的m之上的纤维“水平”移动到相邻的纤维。当应用于以m为基的环圈时，其效果是定义了m处纤维平移的完整群；若B的结构群是G，则它就是G的一个子群，衡量了B与积丛M\times G的偏差。

单值广群与叶状结构
与基本广群类似，可以绕过基点的选择，定义单值广群。此处考虑纤维化p:\tilde X\to X的基空间X中的路径的提升（的同伦类），结果具有基空间X上的广群结构。这样做的好处是，我们可以放弃X的连通性条件。

此外，这个构造还可推广到叶状结构：考虑(M,\mathcal{F})是M的（可能奇异的）叶状结构。则对于\mathcal{F}的叶中的每条路径，都可考虑其在过端点的局部横截面上的诱导微分同胚。若回到端点周围的微分同胚的芽，则前述微分同胚在单连通坐标图中是唯一的，尤其是在不同横截面之间。这样，在单连通坐标图中，它也变得与路径（固定端点间）无关，因此在同伦下不变。

伽罗瓦理论定义
记\mathbb{F}(x)为变量x在F域上的有理函数域，F也是多项式环\mathbb{F}[x]的分式域。元素f(x)=y\in \mathbb{F}(x)决定了一个有限域扩张[\mathbb{F}(x):\ \mathbb{F}(y)]。

这个扩张一般不是伽罗瓦的，但有伽罗瓦闭包L(f)。扩张[L(f):\ \mathbb{F}(y)]的相关伽罗瓦群称作f的单值群。

在\mathbb{F}=\mathbb{C}的情形下，黎曼曲面理论允许上述几何解释。扩张[\mathbb{C}(x),\ \mathbb{C}(y)]已经伽罗瓦的情形下，相关单值群有时被称作甲板变换群（deck transformation）。

这与导致黎曼存在定理的复叠空间伽罗瓦理论有关。

另见

• 辫群
• 单值理论
• 映射类群

注释
参考文献
*

• "Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
• R. Brown [https://groupoids.org.uk/topgpds.html Topology and Groupoids] (2006).
• P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) [http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html TAC Reprint]
• H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1