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圓周率

Wikipedia · 2026-07-21 维基百科 👁 1 阅读

{{Infobox number
| name=圓周率
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數表—

| nav=no
| symbol=\pi
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| OEIS=A000796
| type=無理數
超越數
| define= \pi = \frac{C}{d}.，其中C為圓周長、d為直徑
\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
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\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}
|series=\pi = \sum_{k=0}^\infty\frac{4(-1)^k}{2k+1}
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圓周率是数学常数，等於任何圆的周长和其直径的比，一個常見的近似值等於，常用符号**'表示。

是无理数，不能用分数表示出来（即它的小数部分是无限不循环小数），但近似\frac{22}{7}等有理数。學界認為的数字序列在统计上是随机分布，但迄今未能证明。此外，还是超越数，亦即它不是任何有理系数多项式的根；化圆为方的问题不可能用尺规作图解决。

几个文明古国很早就須计算出的精确值以便于生产的计算。西元5世纪，中國劉宋数学家祖冲之用几何方法将圆周率计算到小数点后7位。大约同时，印度数学家也将圆周率计算到小数点后5位。史上首條的精确无穷级数公式（即π的莱布尼茨公式）直到约1000年后才由印度数学家发现。微積分出現，的位數很快計到數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在20和21世纪，计算机技术快速发展，的计算精度急速提高。截至2024年3月，的十进制精度已達105万亿位。几乎所有科学研究对的精度要求都不超过几百位，当前计算的值主要都为打破记录、测试超级计算机的计算能力和高精度乘法算法。

的定义涉及圆，在三角学和几何学的许多公式，特别是广泛应用在圆形、球形或椭球形相關公式中。此外，背诵值的世界记录已达10萬位。

基本概念
名称
数学家用小写希腊字母表示圆周和其直径之比，有时也将其拼写为“”，来自希腊语“”（周长）的首字母。英语的发音与英文单词“Pie”（，西式馅饼）相同。π的小写字母（或其无衬线体）在数学要和表示求積符號的大写Π相区分开。

关于选择符号的原因，请参见引入π符号一节。

定义
常用定义为圆的周长C与直径d的比值：例如，若想计算笛卡儿坐标系中单位圆x^2+y^2=1上半部分的弧长，需要用到积分：
:\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.

上述积分是由卡尔·魏尔斯特拉斯于1841年对的积分定义。

这些依赖周长、且暗地依赖积分的定义如今在文献中并不常见。雷默特（）解释说现代教微积分時，大学一般将微分学课程安排在积分学课程之前，所以不依赖于后者的π的定义就很有必要了。其中一种定义由提出，由愛德蒙·蘭道推广，其表述如下：是两倍于能使余弦函数等于零的最小正数。余弦函数可以由独立于几何之外的幂级数定义，或者使用微分方程的解来定义。

基于同样想法但更抽象的定义运用了精巧的拓扑学和代数学概念，用以下定理描述：存在唯一的从加法模数整数组成的实数群R/Z到绝对值为1的复数组成的乘法群的连续同态（拓扑学概念，指在拓扑空间之间的一种态射）。数字π定义为此同态派生的模的一半。

周长固定，圆会围成最大面积，π同樣表述为等周不等式中出现的常数（乘四分之一）。此外，在很多其他紧密相关的方程中，π作为某些几何或者物理过程的特征值出现；详见下文。

无理及正规性
是无理数，无法表示成两整数之比的形式（形如\frac{22}{7}的分数常用来近似表达，但是没有任何普通分数（指整数的比）可以取到的精确值）。。

检验，包括正规数检验，可验证的位數沒有明顯的固定模式。的小数中任意固定长度的序列（如3位數000，001……999）出現機率都相同。

電腦出現後可生成大量的不同位数，并統計分析之。金田康正詳細統計分析了的十進制數字，并验证了其分布正规：例如，假設檢定0到9十個數的出現頻率，找不到有特定重复规律的證據

的超越性衍生出一些重要的结果：不能经有限次四则运算和开平方运算有理数来获得，因此不是规矩数。换言之，尺规作图作不出长度为的线段，也就不可能用尺规方法做出与已知圆面积相等的正方形。后者即为有名的化圓為方问题，该问题早在古典时代即已提出，曾困扰人数千年之久。直至今天，依然有民间数学爱好者声称他们解决了这问题。

连分式
像所有无理数一样无法表示成分数，但等全部无理数都能表示成一系列叫连分数的连续分数形式：

:
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}

在这连分数的任意一点截断化简，都能得到π的近似值；前四位近似值是3、\frac{22}{7}、\frac{333}{106}、\frac{355}{113}。这些数在历史上是最广为人知且广為使用的几个近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整数分母的其他整数分数近似值更接近。是超越数，据定义来说它不是代數數，又因此不可能是二次無理數；是故不能表示为循环连分数。尽管的简单连分数没有表现出任何其他明显规律，数学家發現了数條广义连分数能表示，例如：
:\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}

近似值
圆周率近似值包括：
*整数：3
*分数（依准确度顺序排列）：\frac{13}{4}、\frac{16}{5}、\frac{19}{6}、\frac{22}{7}、\frac{179}{57}、\frac{267}{85}、\frac{333}{106}、\frac{355}{113}、\frac{52163}{16604}、\frac{53228}{16943}、\frac{55358}{17621}、\frac{57843}{18412}、\frac{60328}{19203}、\frac{103993}{33102}、\frac{245850922}{78256779}

:z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)，这里i代表虛數單位，即i^2=-1。

复分析中，欧拉公式将三角函数与复指数函数糅合在一起：

:e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi，这里数学常数是自然對數的底数。

欧拉公式确立了e的复指数与复平面上以原点为圆心的单位圆上的点之间的关系，而且当\varphi=\pi时，欧拉公式就能改写为歐拉恆等式的形式：

:。此等式亦稱“最奇妙的数学公式”（），全因它将五个最基本的数学常数简洁联系起来。

欧拉等式亦可用于求出方程z^n=1的n个不同复数根（这些根叫做n次单位根”），可以根据以下公式求得：
:e^{ \frac{2 \pi i k}{n}} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1)。

谱特征
是二次微分的本徵函數，會形成泛音列。對應的本徵值會形成由整數倍組成的等差数列]]
常出现在有关几何的问题中。然而，不少和几何无关的问题也可看到的身影。

在許多用處中都會以特征值形式出現。例如理想的問題可以建模為函數f在單位區間[0,1]的圖形，固定邊界值为f(0)=f(1)=0。弦振動的模態會是微分方程的f^n(x)+\lambda^2f(x)=0，此處是相關的特徵值。受施图姆－刘维尔理论限制，\lambda只能是一些特定的數值。而\lambda=\pi即為一個特征值，因為函數f(x)=\sin (\pi x)滿足邊界條件及微分方程\lambda=\pi。

所述的一篇傳說，古迦太基城的外形是等周長問題的一項解。這些包圍著海的區域由迦太基女王狄多所圍，城不靠海的邊界須用指定大小的牛皮圍住，後來是將牛皮剪成小段]]
是上述方程的最小特征值，也和弦振動的有關。一種讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函數不等式，其中提到若函數f:[0,1]\rightarrow \mathbb{C}使得f(0)=f(1)=0，且f和f'都是平方可積函數，則以下的不等式成立：

:\pi^2\int_0^1|f(x)|^2\,dx\le \int_0^1|f'(x)|^2\,dx,

此例中等號成立的條件恰好是f為\sin (\pi x)倍數的時候。因此似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，也是最小的特征值（根據雷利商數的計算方式）

在更高維度的分析也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，的一項特點是等周定理中的最佳常數：周長為P的平面若尔当曲线，所圍面積A滿足以下的不等式

:4\pi A\le P^2，
A=\pi r^2及P=2\pi r，故等號成立的條件是曲线為圓形。

圓周率也和庞加莱不等式的最佳常數有關，是一維及二維的特征向量最佳值中最小，會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位势论。其一維的情形即為維廷格不等式。

圓周率也是傅里叶变换的重要常數，傅里叶变换屬於积分变换，將實數線上有複數值、可積分的函數，轉換為以下形式：
:\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x\xi}\,dx.

傅里叶变换有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅里叶变换及反傅里叶变换中，一定會有某處出現。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了空間中唯一的幺正算符，也是L^1空間到L^\infty空間的代數同態。

不确定性原理也用到。不确定性原理提出了可以將函數在空間及在頻域中局部化程度的下限，用傅立葉轉換的方式表示：

:\int_{-\infty}^\infty x^2|f(x)|^2\,dx\ \int_{-\infty}^\infty \xi^2|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\ge \left(\frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\,dx\right)^2。
物理的結果，有關量子力学中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中出現是的結果，證實了海森伯群的是唯一。

高斯积分
f(x)=e^{-x^2}的图像，函数下方与X轴围成的阴影部分面积为\sqrt{\pi}。]]

高斯积分是对高斯函数e^{-x^2}在整条实轴上的积分，即函数下方与X轴围成的面积，其结果为\sqrt{\pi}，

:\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx=\sqrt{\pi}

此积分的计算可以先计算f(x)=e^{-x^2}对整条实轴的积分的平方，通过转换笛卡尔坐标系为极坐标系从而求得

:\left( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx \right)^2 = \iint_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}\,dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = \pi

其他计算方法可参阅高斯积分。高斯函数更一般的形式为f(x)=a\exp{\frac{-(x-b)^2}{2c^2}}，求一般形式的高斯积分均可通过换元积分法转化为求f(x)=e^{-x^2}的积分。

另外，当高斯函数为以下形式时，它则是平均数为\mu和標準差为\sigma的正态分布的機率密度函數：

:f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\exp{\frac{-(x-\mu )^2}{2\sigma^2}}

这函数是概率密度函数，函数下方与X轴围成的面积必须为1，令\mu=0和\sigma=1即可变换得出 \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx =\sqrt{\pi}。概率论与统计学领域经常使用正态分布来作为复杂现象的简单模型：例如科学家通常假设大多数试验观测值的随机误差都是服从正态分布。

的反正弦定律，可以通过试验正信号相对于负信号领先权过零点的分布反过来推算]]

概率论与统计学中的中心极限定理解释了正态分布以及的核心作用，这定理本质上是联系着的谱特征与海森堡不确定性原理相关的特征值，并且在不确定性原理中有

: \sigma_{x}\sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2}，

这里的\sigma_{x}與\sigma_{p}分別為位置與動量的標準差，\hbar是約化普朗克常数，而不等式的等号当且仅当粒子的波函数为高斯函数使成立。

同样地，作为唯一独特的常数使得高斯函数等于其自身的傅里叶变换，此时的高斯函数形式为f(x)=e^{-\pi x^2}。根据豪（）的说法，建立傅里叶分析基本定理的“全部工作（whole business）”简化为高斯积分。

历史
远古时期
圓周率在远古时期（西元前一千纪）已估算至前两位（3.1）。有些埃及學家聲稱，遠至古王國時期時期的古埃及人已經用\frac{22}{7}作為圓周率的約數，但這說法受到質疑。

最早有記載的对圓周率估值在古埃及和巴比伦出现，兩估值都与圆周率的正确数值相差不到百分之一。巴比伦曾出土一塊西元前1900至1600年的泥板，泥板上的幾何學陳述暗示人们当时把圓周率視同\frac{25}{8}（等於3.125）。。西元前150年前其他印度文獻把圓周率視為\sqrt{10}（≈3.1622）。阿基米德得到的上限\frac{22}{7}也造成常見誤解，認為就等於\frac{22}{7}數學家在1630年利用多邊形的方式計算到第39位小數，一直到1699年，其他數學家才利用無窮級數的方式打破其紀錄，計算到第71位小數。

中国历史上，的數值有3、3.1547（西元前一世紀）、\sqrt{10}（西元前100年，數值約3.1623）及\frac{142}{45}（第三世紀，數值約3.1556）

印度天文學家阿耶波多在西元499年的著作《阿里亞哈塔曆書》中使用了3.1416的數值。這一突破成為當時的紀錄，延續了約180年。法國數學家弗朗索瓦·韦达在1579年用3×217邊形計算到第9位小數，至今這仍是利用多邊形算法可以達到最準確的結果第一個记载用無窮级数計算的人是约西元1500年左右时，印度天文學家在他的著作《》中用梵語詩所記錄。當時沒有這數列對應的證明，而證明出現在另一本較晚的印度作品《》，年代約在西元1530年。尼拉卡莎將該數列歸功於更早期的印度數學家（1350–1425）。。
的畫像|艾萨克·牛顿利用無窮级数計算到第15位，後來寫道：「我很羞愧的告訴你我為了這個計算用了多少個數字。」：

: \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots

約翰·沃利斯在1655年發現了沃利斯乘积，是歐洲發現的第二條無窮項圓周率公式

蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷果里在1671年發現了馬德哈瓦公式，莱布尼茨也在1674年發現：1699年時英國數學家亚伯拉罕·夏普用格雷果里－莱布尼茨公式，在z=\frac{1}{\sqrt{3}}時計算，計算到π的第71位小數，打破由多邊形算法得到的第39位小數的记录。。

尼拉卡莎在15世紀發展了的另一條無窮級數，收斂速度比格雷果里－萊布尼茨公式快很多：

: \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots

以下比較兩條級數的收斂速率：

計算前五項後，格雷果里－萊布尼茨級數的和跟的誤差為0.2，而尼拉卡莎級數和的誤差為0.002。尼拉卡莎級數收斂快很多，也甚為適合用來計的值。收斂更快的級數有梅欽類公式及楚德诺夫斯基算法，後者每計一項就可以得到14位正確的小數位

: \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots

1761年，瑞士数学家约翰·海因里希·朗伯用正切函数的无穷连分数表达式证明了是無理數。1794年，法国数学家阿德里安－马里·勒让德证明了\pi^2也是无理数。1882年，德国数学家费迪南德·冯·林德曼证明了对任何非零代数数\alpha，e^{\alpha}都是超越数，该结论后来由魏尔斯特拉斯推广为林德曼－魏尔斯特拉斯定理。据此定理和欧拉公式，π只能是超越數，進而证实了勒让德和欧拉提出的π超越性猜想。哈代在其著作《数论导引》中则称此证明在提出後，經過希尔伯特、施瓦兹和其他一些人化简过。

引入符号
在他1736年到1748年的作品中開始用希臘字母表示圓周率，數學界也開始廣為使用]]
在用专指“圆周率”之前，希腊字母即已用於幾何概念中。這希臘字母第一次出现是在书中討論一塊半徑1的圓時提到「其圓周長一半（）」。琼斯選用可能因它是希臘文“周边”一词“”的首字母。不過琼斯提到，他那些有關的算式出自「真正聰明的約翰·梅欽先生」，人们推測在瓊斯之前，約翰·梅欽就已开始用表示圓周率。這紀錄後來多次由其他透過arctan級數计算出的結果打破（1957年到7480位小數，1958年到第一萬位數，1961年到第十萬位小數），直到1973年，小数点后第一百萬位小數經已算出。日本數學家金田康正使用的演算法在1955年及2002年間創下了若干項紀錄。

计算的意义
。]]
一般而言，值并不需要过于精确便能够满足大部分数学运算的需求。按照約·安（Jörg Arndt）及古里斯佗夫·希奴（）的计算，39位精確度已可将可觀測宇宙圆周的精确度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙学的计算需求。尽管如此，和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出于對破紀錄的冲动，依然奋力算出π小数点后上千甚至上百萬位。此外也有測試超级计算机、測試数值分析算法（包括）等實際好處。純粹數學這领域也能计算π的位数评定其隨機度，因而用於突破圆周率的数位的计算。利用这公式，楚德诺夫斯基兄弟于1989年算得π小数点后10亿（109）位，法布里斯·贝拉于2009年算得2.7千亿（2.7×1012）位，亚历山大·易和近藤滋在2011年算得一万亿（1013）位。类似的公式还有。

2006年，加拿大数学家西蒙·普勞夫利用PSLQ按照以下模版生成了几條计算π的新公式：

:\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)，
q为，k是奇数，a,b,c是普勞夫计算出的有理常数。

統計模擬法
統計模擬法是以概率统计理论为指导的一类非常重要的计数方法，經大量重复试验计算事件发生频率，按照大数定律（即当试验次数充分大时，频率充分接近概率）可以求得的近似值。 布芬（Buffon）投針問題就是其中一項實例：长度l的针随机往画满间距t\left ( l\leq t \right )的平行线的平面上抛掷n次， 如果针与平行直线相交m次，n充分大就可根据以下公式算出的近似值：

: \pi \approx \frac{2n\ell}{mt}

用統計模擬法计的另一例子是随机往内切四分之一圆的正方形内抛掷大量点，落在四分之一圆内的点的数量与抛掷点的总量的比值会近似于\frac{\pi}{4}。

此外还可用随机游走试验，并用統計模擬法计算值，如抛掷一枚均匀的硬币N次，并记录正面朝上的次数，所得结果中，正面朝上的次数n_N服从二項分佈且

:\Pr(n_N = m) = \binom N m (\frac{1}{2})^m (\frac{1}{2})^{N-m}

因为硬币均匀，所以次试验中每次试验结果相互独立。由此可定义一系列独立的随机变量X_k\left ( k=1,2,\ldots \right )，当抛掷结果为正面时X_k=1否则为-1，且X_k=\pm 1且取何值有相同概率（即，正面朝上和背面朝上的概率相同）。对随机变量X_k\left ( k=1,2,\ldots, N \right )求和可得

:W_N = \sum_{k=1}^N X_k

设为“硬币正面朝上的次数”减去“硬币反面朝上的次数”，即可得到m-\left ( N-m \right )=k。变换式子，得m=\frac{N+k}{2}，因此

:\Pr(W_N = k) = \binom N \frac{N+k}{2} \frac{1}{2^N}，其中k=-N,-N+2,-N+4,\ldots,N-2,N。

可证明，

:E(W_N) = 0，E(W_N^2) = N，以及E(|W_N|) = \binom{N}{\left\lceil{N/2}\right\rceil \frac{\left\lceil{N/2}\right\rceil}{2^{N-1}}} = \begin{cases}
\frac{(N-1)!!}{(N-2)!!},& \text{若 }N\text{偶，} \\
\frac{N!!}{(N-1)!!},& \mbox{若 }N\mbox{奇。}
\end{cases}

并且当N变大时，E\left ( \left \vert W_N \right \vert \right )的值会渐近于\sqrt{\frac{2N}{\pi}}*，因此当N*充分大时可根据以下公式算出'的近似值：

:\pi \approx \frac{2N}
表示位于距原点\left \vert \boldsymbol{x} \right \vert的单位质量（或电荷）的势能，而k是维度常数。在这里由\mathrm{E}表示的场可以是（牛顿）引力場或（库仑）電場，是位势的负梯度：
:\mathbf{E} = -\nabla V.

特殊情况有库仑定律和牛顿万有引力定律。高斯定律表明，通过包含原点的任何平滑、简单、封闭、可定向曲面S的场的向外通量等于4\pi kQ：

:{{oiint|preintegral=4\pi k Q = |intsubscpt={\scriptstyle S}|integrand=\mathbf{E} \cdot d\mathbf{A}}}

标准形式会将4\pi的这因子吸收到常数k中，但这种说法表明了它必须出现在“某处”。此外，4\pi是单位球面的表面积，但並没有假设S是球面。然而，作为散度定理的结果，由于远离原点的区域是真空（无源的），只有\mathrm{R}^3\setminus\left \{ 0 \right \}中的表面S的同调类与计算积分有关，因此可以由相同同调类中的任何方便的表面代替，特别是球形，因为球面坐标可以用于计算积分。

高斯定律的结果之一是位势V的负拉普拉斯算子等于狄拉克δ函数的4\pi kQ倍：

:\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k Q\delta(\mathbf x).
通过卷积就能得到物质（或电荷）的更一般分布，给出泊松方程
:\Delta V(\mathbf x) = -4\pi k \rho(\mathbf x)

其中\rho是分布函数。

常数在与爱因斯坦场方程中的四维势起类似的作用，爱因斯坦方程是形成廣義相對論基础的一條基本公式，并且把引力的基本相互作用描述为物质和能量引起的时空弯曲的结果：
: R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu},

R_{\mu v}是里奇曲率張量，R是数量曲率，g_{\mu v}是度量张量，\Lambda是宇宙學常數，G是万有引力常数，c是真空中的光速，而T_{\mu v}是應力－能量張量。爱因斯坦方程的左边是度量张量的拉普拉斯算子的非线性模拟，並化簡（reduce）至在弱域的極限，而右边是分布函数的模拟乘以8\pi。

柯西积分公式
在复分析中，沿复平面若尔当曲线的围道积分是研究解析函数的重要手段之一。简化版的柯西積分公式表明，对任何若尔当曲线\gamma内任一点z_0，以下围道积分给出2\pi i：

:\oint_\gamma \frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i.

该命题是柯西积分定理的直接推论，后者表明上述围道积分在围道的同伦变换下保持不变，因而沿任一曲线的积分和沿以z_0为圆心的圆周积分的结果相同。更为一般地，该公式对不通过z_0点的任意可求长曲线都成立，但等式右边要乘以曲线关于该点的卷绕数。

一般形式的柯西積分公式建立了全纯函数f(z)在若尔当曲线\gamma上的值与曲线内任意点z_0处值的关系：
:\oint_\gamma { f(z) \over z-z_0 }\,dz = 2\pi i f (z_{0})

柯西积分定理是留数定理的一項特例。根据留数定理，在区域内除去有限个点解析的亚纯函数g(z)在边界上的围道积分与函数在这些点的留数之和满足：
:\oint_\gamma g(z)\, dz =2\pi i \sum \operatorname{Res}( g, a_k )

Γ函数与斯特灵公式
，下方是富比尼－施图迪度量的黎曼球面與其富比尼－施图迪度量（如图所示的三塊平行曲面）。恒等式\frac{S_3(1)}{S_2(1)}=\frac{\pi}{2}可以确定一條数列]]
阶乘函数n!的值等于所有小于等于n的正整数之积，它的定义域只包含非负整数。Γ函数则是階乘的推广。它在复平面的右半平面定义为：

: \Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} \frac{t^{z-1}}{\mathrm{e}^t} \,{\rm{d}}t

再利用解析延拓可以将它的定义域扩展到除去非正整数的整塊复数域。当自变量z=n取正整数时，\Gamma函数给出阶乘\left ( n-1 \right )!；当自变量取半整数时，计算结果含有。例如 \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} ，\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} 。

根据魏尔施特拉斯分解定理，\Gamma函数可分解为如下的无穷乘积：
:\Gamma(z) = e^{-\gamma z}\prod_{n=1}^\infty \frac{e^{\frac{z}{n}}}{1+\frac{z}{n}}

\gamma是歐拉－馬斯刻若尼常數。利用该分解公式和\Gamma函数在z=\frac{1}{2}的值\Gamma\left ( \frac{1}{2} \right )^2=\pi，亦可以证明沃利斯乘积式。\Gamma函数和黎曼ζ函數、的恒等式存在关联，其中扮演着重要的角色。

\Gamma函数常用于计算n维欧氏空间中n 维球的体积和n 维球面的表面积。对n维欧氏空间中半径为rn维球，其体积V_n(r)和表面积S_{n-1}(r)满足：

: V_n(r) = \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^n

: S_{n-1}(r) = \frac{n\pi^{\frac{n}{2}}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}r^{n-1}

两者还满足如下的关系式：
:2\pi r = \frac{S_{n+1}(r)}{V_n(r)}.

当n很大，用\Gamma函数可得到阶乘n!的近似公式 n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n，稱斯特靈公式，等价于：

:\pi = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{2n}n!^2}{2 n^{2n+1}}.

斯特灵近似的几何应用之一是。将n维欧几里得空间的单纯形记作\Delta_n，\left ( n+1 \right )\Delta_n则表示该单纯形的所有面扩大n+1。于是

:\operatorname{Vol}((n+1)\Delta_n) = \frac{(n+1)^n}{n!} \sim \frac{e^{n+1}}{\sqrt{2\pi n}}.
这是仅含一點晶格点之凸体体积的（最佳）上界。

数论与黎曼ζ函数
也定域在每个质数p上]]
面积的2\pi倍。]]
黎曼ζ函数\zeta(s) 在数学的许多领域均有应用。当自变量s=2 ，可写作
: \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots

找到这无穷级数的解析解是数学界著名的“巴塞尔问题”。1735年，欧拉解决了这问题，他得到该无穷级数等于\frac{\pi^2}{6}。整数可由质数p整除的概率為\frac{1}{p^2}（例如，连续7个正整数只有一个可以7整除），任取两随机整数都能以质数p整除的概率为\frac{1}{p^2}，至少有一數不能整除的概率则为1-\frac{1}{p^2}。又，一随机整数能否以两不同质数整除是相互独立事件，两随机整数互质的概率可以表示成关于所有质数p的无穷乘积
:\begin{align}
\prod_p^\infty \left(1-\frac{1}{p^2}\right) &= \left( \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^{-2}} \right)^{-1}\\
&= \frac{1}{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots }\\
&= \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 61\%.
\end{align}
这结论可结合随机数生成器，用統計模擬法计的近似值。

\zeta函数同样满足黎曼方程的公式，其中用到了和伽玛公式：

:
\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s)\!.

除此之外，
\zeta函数导数也满足
:\exp(-\zeta'(0)) = \sqrt{2\pi}.

最终的结果是可以从谐振子中求得。这泛函行列式可以无穷乘积展开式计算，而且这种方法等价于沃利斯乘积公式。这种方法可用于量子力学，尤其是玻尔模型中的变分。

傅里叶级数
中的表示（如图），它們是的元素。很大程度地利用了這系統。]]
周期函数的傅里叶级数很自然出现了。周期函数即实数的小数部分所构成群T=\frac{R}{Z}上的函数。傅里叶分解指出，T上的复值函数f可表示为无穷多个T的的线性叠加之和。也就是说，T到圓群U(1)（模为1的复数组成的乘法群）的映射是连续群同態。T的特征都有e_n(x)= e^{2\pi i n x}的形式，是一條定理。

T有唯一的特征值，直到复共轭，那是一群同态。在圆群用哈尔测度，常数是这特征值的拉东－尼科迪姆导数值的一半。其他的特征值的导数值为2\pi的正整数倍。。这是的一维版本。

模形式与函数
常數與模形式和Θ函數密切相关——比如，椭圆曲线中的就很大程度涉及楚德诺夫斯基算法（一种快速计算的方法）。

模形式是以在上半平面的全純函數的在SL_2(\mathbb Z)（或其子群，SL_2(\mathbb Z)是SL_2(\mathbb R)的一格）下的變換特性歸納。Θ函數便是一例：
:\theta(z,\tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty e^{2\pi i nz + i\pi n^2\tau}
它是一種名為的模形式，有時以q=e^{\pi i \tau}表達。

常數是特殊常數，它會使雅可比\Theta函數形成自守形式，即該函數會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如：

:\theta(z+\tau,\tau) = e^{-\pi i\tau -2\pi i z}\theta(z,\tau)

它使得\theta必然在離散海森伯群下以表示（representation）變換。一般模形式和其他\Theta函數也包含，這也是根據。。以及希尔伯特变换与泊松核的渐近线有关。希尔伯特变换H是由奇异积分的柯西主值给出的积分变换
:Hf(t) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x-t}。

常数是唯一的（正）归一化因子因此H定义了一个在实数轴上的平方可积分实值函数的希尔伯特空间上的。 和傅里叶变换一样，希尔伯特变换就其在希尔伯特空间L^2(R)的变换特性而言可以完全特征化。直到归一化，它是唯一的与正膨胀对易且与实数轴的所有反射反对易有界线性算子。常数是唯一能使这变换幺正的归一化因子。

複變動態系統
的黑色圖案，背景為藍色的|thumb|可以從曼德博集合中計算，計算方式和計算從(−0.75, ε)點開始，一直到發散之前的次數有關]]
大衛·波（David Boll）在1991年發現在曼德博集合分形也有出現。他檢查在曼德博集合在(-0.75,0)位置的特性。若考慮坐標在「頸部」(-0.75,\varepsilon)的點，而\varepsilon趨近零，在發散之前迭代的次數和\varepsilon相乘，會趨近。若是在右側尖點處附近的點(0.25,\varepsilon)也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和\varepsilon的平方根相乘，也會趨近。

数学之外的
描述物理现象
与圆以及球坐标系关系密切，即使不是物理常数，也常出现在描述宇宙的基本原则方程中。比方说，经典力学领域的简单公式给出长L的单摆小幅摆动的近似周期T \approx 2\pi \sqrt\frac{L}{g}，g为地球引力加速度常数。

海森堡不確定性原理是量子力学的基本公式，表明测量粒子时，其位置不确定度（\Delta x）与动量不确定度（\Delta p）不可能同时达到任意小（h为普朗克常数）： \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi}。

近似三这特性，和电子偶素的半衰期相對較長有密切的联系。其半衰期的倒數和精细结构常数\alpha的關係為\frac{1}{\tau} = 2\frac{\pi^2 - 9}{9\pi}m\alpha^{6}，m為電子質量。

許多結構工程的公式也有，例如歐拉推導的挫曲公式說明了長度為L、截面二次轴矩為的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載F：

:F =\frac{\pi^2EI}{L^2}.

流體動力學的斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半径约为R的小球體在黏度\eta的流體中以速度v運動時會受到的阻力满足：

:F =6 \, \pi \, \eta \, R \, v .

在理想状态下，河的曲折程度（河道本身的长度与源头到入海口的比值）随着时间的推移逐渐趋向于。河流外边缘的快速水流弯曲会使河流内边缘加倍侵蚀，河道变得更弯曲，整條河弯折更厉害。然而，这股弯折劲儿最终会导致河流折回一开始弯折的地方，导致“短路”，并形成河迹湖。这两种相反因素使河道长度与源头到入海口的比值的平均值为。

的记忆技巧
π文字學（或譯作圆周率的语言学）是指記住的大量位值2006年，日本退休工程師原口證在千葉縣於官員見證下背誦了十萬位小數，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。

常用於記憶的一項技巧是背誦以單詞長度代表數值的故事或詩歌：第一單詞有三字母，第二單詞有一字母，第三單詞有四字母，第四單詞有一字母，第五單詞有五字母，如此類推。早期例子是英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「」

有好幾位作家仿照上述记忆技巧，用的數值創作了新型的方式，當中單詞長度須符合的數值。《》以上述技巧包含了前3835位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬單詞，其中各單詞亦代表了的一位。

大众文化
是常見的雙關語（英語圓周率和-{zh-cn:派;zh-hk:批;zh-tw:派;}-同音）]]

也許因為的公式很簡短而且四處可見， 比其他數學常数在流行文化中更常見。

在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合制作的記錄片《》于2008年十月由英國廣播公司第四台播放。影片讲述了英國數學家马库斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上最精確的計算公式的信息图形。

巴黎的科学博物馆發現宮有間圓形房間叫「房」，牆上刻有的707位數，數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字符組成。數值是1853年由英國數學家計算出來，但是该结果於第528位后開始出現謬誤，在1946年發現，1949年修正。的数字也用在凱特·布希所出的专辑中的《Pi》的歌词里。

美国人在3月14日庆祝圓周率日，此节日在学生中很流行。一些自称“数学极客”的人常常用与其数位来创作一些数学或技术圈内人士才能领会到的笑话。麻省理工学院则有几句包含“3.14159”的大学。2015年的圆周率日格外重要，按照美式写法，当天的日期时间3/14/15 9:26:53较其他圆周率日包含更多位数的。

在北电网络于2011年举行的技术专利拍卖会上，谷歌用了一些包含在内的数学或科学常数來竞价。

在1958年，提议将换成（tau）以便简化公式。\tau在此定义为的兩倍。然而，没有任何其他作者曾这样使用过\tau。有些人使用不同的值，\tau=2\pi=6.283185\ldots。这些人称\tau不论是作为弧度制下圆周长的1转还是作为弧长与半径的比值（而不是与直径的比值）都比自然，也能因此简化许多公式。有媒体报道称，因为\tau的值大小约为6.28，現已有人在6月28日庆祝“\tau节”，并吃“两个派”；然而，主流数学界还并未使用\tau。

1897年，有业余美国数学家试图藉印第安纳州议会来通过後世所謂印第安纳圆周率法案的法案。这法案试图以法律命令强制规定数学常数之值而臭名远播。该法案描述化圆为方的方法，并间接提到了的错误值，例如3.2。该法案通过了印第安纳州众议院的表决，但参议院否决之。

注释
參考資料
書籍

  • English translation by Catriona and David Lischka.

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  • , English translation by Stephen Wilson.
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引用
延伸閱讀
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外部連結
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#數學史 #數學常數 #实数超越数 #圓周率 #复分析 #级数

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